1.3.2函数的极值与导数(完美版)ppt课件 .ppt

函数的极值与导数,1,f(x)0,f(x)0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）0得f(x)的单调递减区间.,3,关注用导数本质及其几何意义解决问题,3.思考：观察下图，当t=t0时距水面的高度最大,那么函数h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？,4,观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？,5,新课讲解函数的极值:,观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。,y,0,6,极值的定义,点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值，点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值,注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。,7,函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,8,观察函数y=f(x)的图像,探究1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？2、极大值一定比极小值大么？,9,结论:极值点处导数值为0,探究函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?,10,探究极值点两侧导数符号有何规律?,f(x)0,x2,11,结论若x0满足f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,如果f/(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f/(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.,从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.,12,如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即,同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即;在x0的右侧附近只能是增函数,即.,13,练习：,下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,14,2、函数在某点取得极值的必要条件和充分条件分别是什么？,探究1、导数值为0的点一定是函数的极值点吗？,可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.,导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.,15,如何列表，列表中的基本元素有哪些？区间分配依据是什么？各区间对应导数的符号如何判定,例1、求函数的极值.,解:,令,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.,16,(1)确定函数的定义域，求导数(2)求方程的根(3)用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.(4)检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。,f(x),f(x)=0,f(x)=0,f(x),求解函数极值的一般步骤,17,故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,例2、求函数的极值.,解:函数的定义域为,令,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,18,练习:求函数的极值.,解:,令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:,因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.,19,20,练习:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.,解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得或,当a=-3,b=3时,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时,此时x=1是极值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,21,练习:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,解:,由题意,应有根,故5a=3b,于是:,(1)设a0,列表如下:,由表可得,即.,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,22,(2)设a0,故有不相等的两实根、,设.,又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a2时,;当x2,由条件可知,即:,当时,x22,由条件可知,即:,又当时,所以当时,函数y=f(x2)取得极小值.,为什么要加上这一步?,26,例6、直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_解析：令f(x