答案是B随机过程XXB卷及答案

答案是B随机过程XXB卷及答案 河北大学xxxx 学年第一学期 应用随机过程试卷（B） 学院 理学院 班级 姓名 学号 一概念简答题（每题5分，共40分） 1.设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立且服从同一正态分布N(?,?2)，试求 X= 1n n ? k=1 Xk 的分布。 2.设更新过程 ?N(t),t?0?的更新时间距Tk的概率密度函数为f(t)?2te?t,t?0 求证：均值函数mN(t)? 12 ?t? 14 (1?e ?2 ?t )，并求其更新强度?(t)。 3.简述Poisson过程的随机分流定理 4.简述Markov链与Markov性质的概念 5. 简述Markov状态分解定理 6简述HMM要解决的三个主要问题 7. 已知随机过程?X(t)=Xsin?t,t?(-?,+?)?，其中X为随机变量，服从正态分布 N(?,?) 2 。 (1)按物理结构分，X(t)属哪一类随机过程； (2)按概率结构分，X(t)又属哪一类随机过程。 8什么是时齐的独立增量过程？ 二综合题（每题10分，共60分） 1.设随机过程?X(t)=cos?t,t?T?，其中?是服从区间(0,2?)上均匀分布随机变量，试证： （1）当T?n|n?0,?1,?2,?时，?X(t),t?T?为平稳序列。 （2）当T?t|t?(?,?)?时，?X(t),t?T?不是平稳过程。 ?7y4,0?y?1 2. 已知随机变量Y的密度函数为fY(y)?,而且，在给定Y=y条件 ?0,其他?3x2,0?x?y?1 ,试求随机变量X下，随机变量X的条件密度函数为fX|Y(x|y)? ?0,其他 和Y的联合分布密度函数f(x,y). 3. 二阶矩过程?X(t),0?t ? 2 1-t1t2 ,0?t1,t2 此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求RX?(t1,t2)和RXX?(t1,t2)。 4如果X(0),X(1),?,X(n),?是取整数值且相互独立的随机序列。 （1）试证?X(n),n?0?是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？ n （2）设P?Xn()?i?pn,i?0,1,2,?(Y)n ?X(?)k k?0 ，试证Y(n),n?0是齐次马 尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。 5一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重量为5000kg的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772. ?1?2?1P=? ?0?1?2 1xx0 002312 ?0?0?0?0? 6 设I=1,2,3,4，其一步转移概率矩阵，试画出状态传递图， 对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。 河北科技大学xxxx 学年第一学期 应用随机过程试卷（B）答案 一概念简答题（每题5分，共40分） 1. 设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立且服从同一正态分布N(?,?2)，试求 X= 1 n ?n Xk 的分布。 k=1 答:由XiN(?,?2)可知 ?X(t)=e i i?t- ?t 2 22 ,i=1,2,?,n n 由于X1,X2,?,Xn相互独立，根据特征函数的性质可得，X=?( k=1 Xkn )的特征函数 为 ?X(t)=(?X( i tn )=(e n i?t- ?t 2 22 )=e n i?t- ?t 22 2n 上式即为正态分布N(?, 1 n ? 2 n )的特征函数，所以有唯一性可知 X= ?n XkN(?, ? 2 k=1 n ) 2设更新过程 ?N(t),t?0?的更新时间距Tk的概率密度函数为f(t)?2te?t,t?0 求证：均值函数mN(t)? 12 ?t? 14 (1?e ?2?t )，并求其更新强度?(t)。 n 答：因为更新间距Tk?(2,?)，故更新时刻?n?数与分布函数分别为 ?T k?1 k ?(2n,?) ，其概率密度函 ?2n?1?t (?t)e,t?0? f?n(t)?(2n) ?0,t?0?t?2n?1?s (?s)eds,t?0?0 F?n(t)?(2n) ?0,t?0? ? mN(t)? t0 ?F? n?1 n (t)? ? t0 ?(2n) ?s (?s) t0 2n?1 e ?s ds? ? t0 ? ?e ?s (? n?1 (?s) 2n?1 (2n?1)! ?2?t )ds ? ? ? 2 (e ?s ?e ?s )eds?( ? ? 2 (1?e ?2?s )ds? ?t 2 ? 14 (1?e ) ?(t)? ? ddt mN(t)? 2n?1 ddt ?t 2 ?t ? 14 (1?e ?2?t ) 注：? k?1 (?t) (2n?1)! ? 12 (e?e ?t ) 3简述Poisson过程的随机分流定理 答：设Nt为强度为?的poisson过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把他归入第二类。对i=1,2,记 Nt(i)为t前到达的第i类顾客数，那么 Nt (1) :t?0,Nt (2) :t?0分别为强度为p?与（1-p）?的poisson过程，而且这 两个过程相互独立。 4简述Markov链与Markov性质的概念 答：如果随机变量是离散的，而且对于?n?0及任意状态 i,j,i0,?,in?1,都有p(?n?1?j|?n?i,?n?1?in?1,?,?0?i0)?p(?n?1?j|?n?i) ，该随 机序列为Markov链，该对应的性质为Markov性质。 5. 简述Markov状态分解定理 答：(1) Markov链的状态空间S可惟一分解为 S?T?H1?H2?，其中T为暂态的全体，而Hi为等价常返类。 （2）若Markov链的初分布集中在某个常返类Hk上，则此Markov链概率为1地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为Hk的不可约Markov链。 6简述HMM要解决的三个主要问题 答：(1)从一段观测序列Yk,k?m及已知的模型?(?,A,B)出发，估计Xn的最佳值，称为解码问题。这是状态估计的问题。 (2) 从一段观测序列Yk,k?m出发，估计模型参数组?(?,A,B)，称为问 题。这是参数估计问题。 (3) 对于一个特定的观测链Yk,k?m，已知它可能是由已经学习好的若干模型之一所得的观测，要决定此观测究竟是得自于哪一个模型，这称为识别问题，就是分类问题。 7已知随机过程?X(t)=Xsin?t,t?(-?,+?)?，其中X为随机变量，服从正态分布 N(?,?) 2 。 (1)按物理结构分，X(t)属哪一类随机过程； (2)按概率结构分，X(t)又属哪一类随机过程。 答：（1）因为随机过程X(t)的参数空间T=(-?,+?)为连续集合，而X服从正态分布，亦在(-?,+?)上取值，即X(t)的状态空间E=(-?,+?)为连续集合，故此随机过程X(t)属于参数空间为连续集，状态空间为连续集的随机过程。 2222 ?（2）因为E?，所以 X(t)为二阶矩过程。 ?X(t)?=E(Xsin?ti)? 由于X服从正态分布， X(t)中任意多个随机变量X(ti)=Xsin?ti,i=1,2,?,n n n 的线性组合?iX(ti)=(?i?ti)X服从正态分布，故(X(t1),?,X(tn)服从n维正 i=1 i=1 态分布，所以?X(t)=Xsin?t,t?T=(-?,+?)? 还是正态随机过程。 8 .什么是时齐的独立增量过程？ 答：称随机过程?t：t?0为独立增量过程，如果对于?n,?0?t0?t1?tn,起始随机变量及其后的增量?s?t?s是相互独立的随机变量组；如果?s?t?s的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。 二综合题（每题10分，共60分） 1. 设随机过程?X(t)=cos?t,t?T?，其中?是服从区间(0,2?)上均匀分布随机变量，试证： （1）当T?n|n?0,?1,?2,?时，?X(t),t?T?为平稳序列。 （2）当T?t|t?(?,?)?时，?X(t),t?T?不是平稳过程。 证：（1）当参数空间为T?n|n?0,?1,?2,?时 E?X(t)?E?cos(?t)? ? 2?0 ?1,t?0 cos(xt)dx?2?0,t?01 12 (1分) RX(t1,t2)=E?cos(?t1)cos(?t2)?当t1?t2?0时，RX(t1,t2)=1 当t1与t2不全为零时，有 12 2?0 E?cos(?(t1?t2)?cos(?(t2?t1)? RX(t1,t2)= ? ?1 ?,t?t?0 ?cos(x(t1?t2)?cos(x(t2?t1)?dx?221 2?0,t?t?0 ?21 1 即RX(t1,t2)只与t2?t1有关。 (2分) ?1,t?0?22 ?RX(t,t)?1|X(t)|? E?，即E?|X(t)|?,t?0? ?2 故当T?n|n?0,?1,?2,?时，?X(t),t?T?为平稳序列。 (2分) （2）当参数空间为T?t|t?(?,?)?时，由于 2?0 E?X(t)?E?cos(?t)? ? t?0?1, ? cos(xt)dx?1 (5分) 2?sin(2?t),t?0? ?2 1 为t的函数，不是常数，故当T?t|t?(?,?)?时，?X(t),t?T?不是平稳过程。 ?7y4,0?y?1 ,而且，在给定Y=y条件2. 已知随机变量Y的密度函数为fY(y)? ?0,其他?3x2,0?x?y?1 ,试求随机变量X下，随机变量X的条件密度函数为fX|Y(x|y)? ?0,其他 和Y的联合分布密度函数f(x,y). ?7y4?3x2,0?x?y?1 答：f(x,y)=fY(y)?fX|Y(x|y)? (5分) ?0,其他 ?21y4x2,0?x?y?1 =? （5分） ?0,其他 3二阶矩过程?X(t),0?t ? 2 1-t1t2 ,0?t1,t2 此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求RX?(t1,t2)和RXX?(t1,t2)。 答： ?t1 RX(t1,t2)= ?t2 (1-t1t2)? 2 2 2 , ?t2 RX(t1,t2)= 2 ?t1 (1-t1t2) 2 2 ?t1t2 RX(t1,t2)= ?(1+t1t2) (1-t1t2)? 2 3 ,0?t1,t2 2 由对称性知， ? 2 2 ?t1t2 RX(t1,t2)存在且等于 ? ?t2t1 RX(t1,t2)，显然 在任意点 ?t1t2 RX(t1,t2)= ?(1+t1t2) (1-t1t2) 3 ,0?t1,t2 1 t2, 1连续，故? RX?(t1,t2)广义二阶可微，即?X(t),0?t 连续。 RX?(t1,t2)=E?X?(t1)X?(t2)?= ? 2 ?t1t2?t2 RX(t1,t2)= ?(1+t1t2) (1-t1t2) 3 2 (5分) RXX?(t1,t2)=E?X(t1)X?(t2)?= RX(t1,t2)= ?t1 (1-t1t2) 2 2 (5分) 4如果X(0),X(1),?,X(n),?是取整数值且相互独立的随机序列。 （1）试证?X(n),n?0?是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？ n （2）设P?Xn()?i?pn,i?0,1,2,?(Y)n ?X(?)k k?0 ，试证Y(n),n?0是齐次马 尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。 答：（1）X(0),X(1),?,X(n),?是独立随机变量序列，故为马尔可夫过程，其状态集 E?0,?1,?2,?，所以X(n)是马尔可夫链。其一步转移转移概率 所以X(n)一般情况pij(k)?P?X(k?1)?j|X(k)?i?PX(k?1)?j与k有关， 下是非齐次马尔科夫链，仅当PX(k?1)?j与绝对时刻k无关，即X(k)同分布时，X(n)为齐次马尔可夫链。 (5分) （2）Y(n)? n ? k?0 X(k)为独立增量的随机过程，状态集E?0,?1,?2,?，故为马 尔科夫链，一步转移概率 pij(k)?P?Y(k?1)?j|Y(k)?i?PX(k?1)?j?i?pj?i i,j?E 与绝对时间k无关，故Y(n),n?0是齐次马尔科夫链。 (5分) 5一生产线生产的成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg， 标准差为5kg，若用最大载重量为5000kg的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772. 2?，答：记Xi表示第i箱的重量，i?1，则X1,X2,?,Xn,?独立同分布，且 E(Xi ?m? 设汽车可装m箱符合要求，即P?Xk?5000?0.9772 ?k=1? m m m m 而E(?Xk)=?E(Xk)=50m,D(?Xk)=?D(Xk)=25m k=1 k=1 k=1 k=1 根据列维中心极限定理可知 ?m P?k=1 ?m? X-50m?k?Xk?5000?=P? (5分)? 于是 ?( ?0.9772，而?(2)=0.9772，故 5000-50m ?2?10m+?0 所以 10 10 解得 ? 0 ?10? (5=98.0199? 2 分) 即每辆车最多可装98箱。 ?1 ?2?1P=? ?0?1?2 1xx0 002312 ?0?0?0?0? 6 设I=1,2,3,4，其一步转移概率矩阵，试画出状态传递图， 对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。 答： 因为对一切n?1,f44(n)?0,所以f44?0?1,从而知道状态4是非常返态。 （1分） 23 2