换元积分详解_第1页
换元积分详解_第2页
换元积分详解_第3页
换元积分详解_第4页
换元积分详解_第5页
已阅读5页，还剩34页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第二节换元积分法,一、第一类换元法,通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分方法.第一换元积分法也称为凑元法。,定理1设u=(x)在区间a,b上可导,g(u)在.上有原函数G(u),则不定积分存在,且,证明:用复合函数的求导法则，验证,第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成g(x)(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些三角函数的恒等变换,分子分母的有理化,分子加减某项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同,我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数.“凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(x),例1,例2,的积分，,对于形如,当m,n中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理.,例3,例4,例5,(1)关于自变量是线性形式,例如,(2)被积函数可写成,常见的凑元法有以下几种情况:,的形式，例如,(3)被积函数可写成f(xn)xn-1的形式,例如,(4)被积函数可写成g(xn)x2n-1的形式,例如,(5)被积函数可写成f(sinx)cosx或f(cosx)sinx的形式,例如,(6)被积函数可写成,(7)利用三角函数公式,常用的三角形式:倍角公式,积化和差公式,的形式,例如,此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2x等例如,例6,例7,例8,例9,例10,例11,例12,例13,例14,例15,例16,二、第二换元法,定理设x=(t)是单调,可导的函数,并且(t)0,又设f(t)(t)具有原函数(t),则有换元公式,成立，其中,是x=(t)的反函数.,证明:,公式成立是有条件的.1)等号右边的不定积分或原函数要存在,且容易积分.2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的存在.常用的变量代换有下列四种类型：,利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单,当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰当的三角恒等式作三角代换.例如对,1、三角代换,例1求,解:,例2求,解:,例3求,把xa及x-a的结合起来,我们得到,从上面的例子可看出:,可作代换x=asint化去根式;,，,如果被积函数含有,，,可作代换x=atant化去根式;,如果被积函数含有,如果被积函数含有,，,可作代换x=asect化去根式;,但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换.例如,当被积函数是三角有理式时,作“万能”代换,将被积函数有理化.,例4求,还有一部分采用反三角函数代换，例如,例5求,2、根式代换,目的是将无理数变成有理数,便于积分,例6,求,3、倒数代换,，应用双曲代换,例7求,4、双曲代换,当被积函数含有根号,时有类似的结果,综合得到,下面的积分在今后的计算中常会遇到,我们可把它们作
人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论