积分变换第6讲

.,1,积分变换第6讲,.,2,拉氏变换的性质,本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件,.,3,1.线性性质,若a,b是常数Lf1(t)=F1(s),Lf2(t)=F2(s),则有Laf1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s)L-1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+bf2(t)此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.,.,4,微分性质若Lf(t)=F(s),则有Lf(t)=sF(s)-f(0)(2.3)证根据分部积分公式和拉氏变换公式,.,5,推论若Lf(t)=F(s),则Lf(t)=sLf(t)-f(0)=ssLf(t)-f(0)-f(0)=s2Lf(t)-sf(0)-f(0).Lf(n)(t)=sLf(n-1)(t)-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f(0)-.-f(n-1)(0)(2.4),.,6,特别,当初值f(0)=f(0)=.=f(n-1)(0)=0时,有Lf(t)=sF(s),Lf(t)=s2F(s),.,Lf(n)(t)=snF(s)(2.5)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.,.,7,例1利用微分性质求函数f(t)=coskt的拉氏变换.由于f(0)=1,f(0)=0,f(t)=-k2coskt,则L-k2coskt=Lf(t)=s2Lf(t)-sf(0)-f(0).即-k2Lcoskt=s2Lcoskt-s移项化简得,.,8,例2利用微分性质,求函数f(t)=tm的拉氏变换,其中m是正整数.由于f(0)=f(0)=.=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!所以Lm!=Lf(m)(t)=smLf(t)-sm-1f0)-sm-2f(0)-.-f(m-1)(0)即Lm!=smLtm,.,9,此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函数的微分性质:若Lf(t)=F(s),则F(s)=L-tf(t),Re(s)c.(2.6)和F(n)(s)=L(-t)nf(t),Re(s)c.(2.7)这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序,.,10,例3求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换.,.,11,3.积分性质若Lf(t)=F(s),.,12,重复应用(2.8)式,就可得到:,.,13,由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质:若Lf(t)=F(s),则,.,14,例4求函数,的拉氏变换.,.,15,其中F(s)=Lf(t).此公式常用来计算某些积分.例如,.,16,4.位移性质若Lf(t)=F(s),则有Leatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c).(2.12)证根据拉氏变换式,有,上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,因此Leatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c),.,17,例5求Leattm.,例6求Le-atsinkt,.,18,5.延迟性质若Lf(t)=F(s),又t0时,有|e-st|0,有,.,24,例9求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换,O,t,E,f(t),O,O,E,E,T,T,t,f1(t),f2(t),t,.,25,由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以,.,26,例10求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换,3T,2,5T,2,t,T,2T,O,E,fT(t),.,27,由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为,从而,.,28,这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法,即设fT(t)(t0)是周期为T的周期函数,如果,且Lf(t)=F(s),则,.,29,初值定理与终值定理,.,30,证根据拉氏变换的微分性质,有Lf(t)=Lf(t)-f(0)=sF(s)-f(0)两边同时将s趋向于实的正无穷大,并因为,.,31,(2)终值定理若Lf(t)=F(s),且sF(s)在Re(s)0的区域解析,则,.,32,证根据定理给出的条件和微分性质Lf(t)=sF(s)-f(0),两边取s0的极限,并由,.,33,这个性质表明f(t)在t时的数值(稳定值),可以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s0时的极限值而得到,它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系.在拉氏变换的应用中,往往先得到F(s)再去求出f(t).但经常并不关心函数f(t)