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文档简介

一、不定积分的概念,二、不定积分的性质基本积分公式,三、换元积分法,第一节不定积分,第三章一元函数积分学,一、不定积分的概念,定义3-1若在某区间上,则称为在该区间上的一个原函数,例,（2）若和都是的原函数,则,（为任意常数）,（3）为原函数的全体,定义3-2若函数是的一个原函数,则原函数的全体称为的不定积分.记为.,由此可知,求不定积分只需求出一个原函数,再加上任意常数.,例3-1：求经过点(1,3)，且其切线的斜率为3x2的曲线方程,解：因为(x3)=3x23x2dx=x3+C得曲线族y=x3+C,将x=1,y=3代入得C=2,故所求曲线为:y=x3+2,不定积分的几何意义,是积分曲线上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族,在点处有相同的斜率，即这些切线互相平行,二、不定积分的性质和基本积分公式,性质3-3,性质3-4,基本积分公式,(3),(4),例3-2求,解,例3-3:求,解:,例3-4（1）求,解,例3-4（2）求,解,(4),例3-4（3）求,解,例求,解,但是,解决方法利用复合函数，设置中间变量.,三、换元积分法,因为,第一类换元法(凑微分法),注意使用此公式的关键在于,定理3-1,则有换元公式,证明,解,例3-5（1）求,例3-5（2）求,解,对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量,例3-6求,解,例求,解,例求,解,例3-7求,解,同理可得,例3-8求,解,例3-9：sin2xcos3xdx=sin2xcos2xd(sinx),=sin2x(1-sin2x)dsinx=1/3sin3x-1/5sin5x+C,例3-10：sin2xdx=(1-cos2x)/2dx=x/2-sin2x/4+C,例3-11sin6xcos2xdx=1/2(sin8x+sin4x)dx=-1/16cos8x-1/8cos4x+C,解法1,例3-12求,解法2,解法3,凑微分常见的类型,第一类换元法是通过变量替换将积分,第二类换元法是通过变量将积分,2第二类换元法,设单调、可导，且，则有,例3-13求,解令,对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称根式代换.,例3-14求,解令,若被积函数中含有时,可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换.,三角代换常有下列规律,解设,例3-15求,解令,例3-16求,解
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