2014年广州市一模数学试题答案(文科)

.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共10小题，每小题，满分50分题号12345678910答案CABACABDBC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题题号1112131415答案74或三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件，从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件包含4种情形则所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为（2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为，则表示第一瓶抽到的是，第二瓶抽到的是，则是一个基本事件由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为，则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：，共30种基本事件由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件包含的基本事件有：，共18种基本事件则所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为，则是一个基本事件由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为，则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：，共15种基本事件由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件包含的基本事件有：，共9种基本事件则所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为17（本小题满分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数的图象经过点，所以即即解得（2）由（1）得，所以函数的最小正周期为因为函数的单调递增区间为，所以当时，函数单调递增，即时，函数单调递增所以函数的单调递增区间为18（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：连结，因为四边形是正方形，所以在正方体中，平面，平面，所以因为，平面，所以平面因为平面，所以（2）解：取的中点，连结，则在平面中，过点作，则连结，则，四点共面因为，所以故当时，四点共面（3）解：因为四边形是直角梯形，所以几何体为四棱锥因为，点到平面的距离为，所以故几何体的体积为19（本小题满分） （本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：（1）因为等差数列的首项为10，公差为2，所以，即所以（2）由（1）知 ，因为，所以当时，当时，所以当时， 当时， 综上可知，20（本小题满分） （本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：（1）因为，所以令，可得或则在上的变化情况为：13+00+增函数1减函数增函数所以当时，函数有极大值为1，当时，函数有极小值为（2）假设函数在上存在“域同区间”，由（1）知函数在上单调递增所以即也就是方程有两个大于3的相异实根设，则令，解得，当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增因为，所以函数在区间上只有一个零点这与方程有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立所以函数在上不存在“域同区间”21（本小题满分）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：设双曲线的半焦距为，由题意可得解得 （2）证明：由（1）可知，直线，点设点,，因为，所以所以因为点在双曲线上，所以，即所以所以直线与直线的斜率之积是定值（3）证法1：设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，由（2）知，设，则即整理，得由，得将，代入，得 将代入，得所以点恒在定直线上证法2：依题意，