《向量空间的基》PPT课件

,定理5.1.1-向量空间的基,定义5.1.3-线性相关与线性无关,定义5.1.4-基,例3,例4,5.1向量空间,定义5.1.1-向量空间,定义5.1.2-子空间,例1,例2,例5,定义5.1.5-维数,例6,例7,例8,例9,例10,定义5.1.1非空集合称为域上的向量空间,(vectorspace)或线性空间(linearspace),如果关于,加法（记作“+”）运算构成一个交换群，并且对每个,在中可惟一地确定一个元素(称为,与的标量乘法)，使得对所有的，,以,下四个条件都满足：,(M1);,(M2);,(M3);,(M4).,向量空间中的元素称为向量(vector).域中的元素,称为标量或者纯量(scalar).,注在高等代数课程中,我们涉及到的向量空,间（或线性空间）的基域都是数域,是无限域,且是,特征为零的域,但我们这里的基域可以是一般的域,它可以是有限域,且域的特征也可以是素数.,例1集合是域上的,向量空间,其加法运算和标量乘法运算分别为,例2设是素数,则是一个域.系数在,上的一元多项式环是上的向量空间.,例3复数域是实数域上的向量空间,运算,是通常的复数的加法和乘法运算.,例4域上的所有矩阵的集合关于,如下矩阵的加法和标量乘法运算构成上的向量空,间,例5（这个例子是例3的推广.虽然它看上去,很平常,但却是域论中最重要的例子之一）设是域，,是的子域,那么是上的向量空间.向量空间,的运算就是域中的运算.因此,根据第三章定理,3.6.5,每个域都可看成是某个素域上的向量空间.,定义5.1.2设是域上的向量空间，是的,非空子集.如果关于的运算也构成上的向量空,间,则称为的子空间,例6集合是上,的由所有系数在域上的多项式组成的向量空间,的子空间.,例7设是域上的向量空间，是,中的向量(它们不必互不相同),那么子集,称为的由张成的子空间.形如,的元素称为的线性组,合,如果，那么我们称张成,一般地,设是的任一非空子集.如果中任一,元素都是中有限多个元素的线性组合,则称张,成,定义5.1.3向量组称为在上线性,相关(linearlydependent),如果存在不全为零的元,使得.如果,向量组在上不是线性相关的,则称为在上线性无,关(linearlyindependent).,例8设,则中的向量组,，在上是线性无关的.因为假,设存在,使得,那么,于是.,定义5.1.4设是上的向量空间.是的,一个非空子集.如果中任一有限子集都在线性无,关,且张成,则称为的基.,例9集合,是上的向量空间.则我们可以证明,是的基.,首先我们来证明是线性无关的.,假设有,使得,那么有,所以,从而线性无关.其次,中任何,元素都具有形式,因此,生成,即是的基.,定理5.1.1如果和都,是域上向量空间的基,那么,证假设.不妨设.,由于,张成,所以可设,且这些,不全为零,对的顺序适当重排后可,设,则张成.,设,则中至少有,一个不为零,设,则张成继续,这样下去,有张成.,但此时是,的线性组合,矛盾!,定义5.1.5如果一个向量空间具有一个含,个元素的基,则称的维数(dimension)是.零空,间称为是由空集张成的,并规定它的维数是0.,可以用集合论的方法证明每个向量空间都有基.,以有限多个元素为基的向量空间(包括零空间)称为,有限维向量空间(finitedimensionalvectorspace),否,则称为无限维向量空间(infinitedi