第九章-常微分方程概念

莫兴德广西大学数信学院,Email:moxingde,微积分,链接目录,参考书,1赵树嫄.微积分.中国人民出版社2同济大学.高等数学.高等教育出版社,第八章多元函数,空间解析几何简介多元函数的概念二元函数的极限与连续偏导数全微分复合函数的微分法隐函数的微分法二元函数的极值二重积分,常微分方程,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。,常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用,由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方法。,本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。,重点,五种标准类型的一阶方程的求解,可降阶的高阶方程的求解,二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解,难点,求解全微分方程,求常系数非齐次线性方程的通解,基本要求,明确微分方程的几个基本概念,牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程,牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，,会将Bernoulli方程化为一阶线性方程来求解,掌握全微分方程的解法,会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程,掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程,一、问题的提出,解,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,二、微分方程的定义,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,分类1:常微分方程,偏常微分方程.,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,分类2:,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,三、主要问题-求方程的解,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,一阶:,过定点的积分曲线;,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),四、小结,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,练习题,练习题答案,十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需要寻求函数关系的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。,一、微分方程的基本概念,解,根据牛顿第二定律,得到,注意到,从而有,微分方程,初始条件,定解条件,定解问题,定义1:含有未知函数的导数的方程称为微分方程.,未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程.,未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.,例如,例如,二阶,未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.,定义2:(微分方程的阶),未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分方程称为线性微分方程.,定义3:(线性与非线性),定义4:(微分方程的解),称为微分方程的通解.,微分方程的通解：,微分方程的特解：一个常微分方程的满足定解条件的解称为微分方程的特解,通解有时也写成隐式形式,称为微分方程的通积分,有n个定解条件,定义5:(积分曲线与积分曲线族),积分曲线族,二、一阶常微分方程的初等积分法,所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解常微分方程.初等解法只适用于若干非常简单的一阶常微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分方程.,(一)变量可分离型,(三)一阶线性方程,(二)可化为可分离变量,(五)全微分方程,(四)伯努利(Bernoulli)方程,(六)积分因子,两边积分,通解,分离变量,这两个方程的共同特点是变量可分离型,(一)分离变量法,(1)解,两边积分,分离变量,即,(分离变量时,这个解被丢掉了!),于是得到方程,通解,(2)解,分离变量,两端积分,得,通解,奇异解,(二)可化为可分离变量,这两个方程的共同特点是什麽?,可化为,齐次型方程,求解方法,这是什麽方程？,可分离变量方程！,分离变量,两端积分,取指数并且脱去绝对值,由此又得到,通解,两端积分,得,通解,(三)一阶线性微分方程,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,性质5：,(1)如何解齐次方程？,非齐次,齐次,可分离型！,标准形式：,什麽类型？,一阶线性微分方程,分离变量,是p(x)一个原函数不是不定积分！,齐次通解,解得,注意：,齐次通解的结构：,(2)用常数变异法解非齐次方程,假定(1)的解具有形式,将这个解代入(1),经计算得到,化简得到,即,积分,从而得到非齐次方程(1)的通解,非齐次通解,或,非齐次通解的结构：,特解,非齐次特解,这是线性方程吗？,是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,齐次方程通解是,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程的解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,常微分方程（二）,一、一阶线性方程,三、可利用微分形式求解的方程,二、伯努利(Bernoulli)方程,四、积分因子,一、一阶线性微分方程,性质1：,性质2：,性质3：,性质4：,性质5：,(1)如何解齐次方程？,非齐次,齐次,可分离型！,标准形式：,什麽类型？,一阶线性微分方程,分离变量,是p(x)一个原函数不是不定积分！,齐次通解,解得,注意：,齐次通解的结构：,(2)用常数变异法解非齐次方程,假定(1)的解具有形式,将这个解代入(1),经计算得到,化简得到,即,积分,从而得到非齐次方程(1)的通解,非齐次通解,或,非齐次通解的结构：,特解,非齐次特解,这是线性方程吗？,是关于函数x=x(y)的一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,齐次方程通解是,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程的解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,证,Bernoulli方程,二、伯努利(Bernoulli)方程,Bernoulli方程,线性方程,解,解线性方程,相应的齐次方程,(2)的通解,设(1)的解为,代入(1),计算化简得到,三、可利用微分形式求解的方程,利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式.,例如,解,通解,凑微分,通解为,解,改写为,