初中数学分类讨论思想例题简析

初中数学分类讨论思想例题简析（一）剑门中学-何俊平分类讨论思想是数学中重要的思想和一种解题方法，旨在考查我们思考问题的逻辑性、周密性和全面性，分类讨论问题也属于创新性问题，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。初中数学分类讨论的知识点有三大类：一是代数类：如绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标不确定）所在象限等.二是几何类：各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.三是综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏 分类的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个标准；分类讨论应逐级有序进行以性质、公式、定理的使用条件为标准分类.下面列举初中数学几何中常见的几种分类讨论思想的问题，供同学们借鉴。一、与线段有关的分类讨思想的应用线段及端点位置的不确定性需讨论。例1、已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CACB= 32 或34 。 解析：分点C在线段AB的延长线上和线段BA的延长线上两种情况求解。尝试1、已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长. 二、与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性需讨论。例2、在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线OM平分AOB，ON平分BOC，则MON=20或50 。解析：分射线OC在AOB的内部和外部两种情况求解。尝试2、 已知,过O作一条射线OC，射线OE平分，射线OD平分，求的大小。三、三角形中分类讨论思想的应用常见的有以下四种类型：因三角形的形状不确定而需分类讨论；因等腰三角形的腰与底不确定而需分类讨论；因直角三角形的斜边不确定而需分类讨论；因相似三角形的对应角(或边)不确定而需分类讨论。1、 三角形的形状不确定需分类讨论例3、ABC的边AB为15cm，边AC为13cm，边BC上的高AD为12cm,求此三角形的面积。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。如图1，当ABC的高在形内时，由勾股定理易得BC=BD+CD=9+5=14，所以。如图2，当高AD在形外时，此时ABC为钝角三角形。由勾股定理易得BC=BD-CD=9-5=4，所以。 故ABC的面积为84或24.尝试3、在ABC中，B=28，AD是BC边上的高，且.求C的度数。2、等腰三角形的分类讨论： 在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以需分类讨论。例4、已知等腰三角形的两边长是方程的两根，则它的周长是_16或17_。若等腰三角形的一边为3，另一边为6，则它的周长等于_15_ 。解析：方程的两根为5,和6，需分腰为5，底为6和腰为6，底为5两种情况讨论，并且还要考虑三边之长是否满足三角形的构成条件。尝试4、若等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为15cm和12cm两部分，则这个等腰三角形的底长为 。在等腰三角形中求角：等腰三角形的一角可能是底角，也可能是顶角，所以需分类讨论。例5、已知等腰三角形的一个内角为65则其底角为65或57.5 。已知等腰三角形的一个内角为95则其底角为95 。解析：当已知角为锐角时，它既可以是等腰三角形的顶角，也可以说等腰三角形的底角；当已知角为直角或钝角时，它只能是顶角。尝试5、a、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，则它的顶角为 。b、在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交成的锐角为50，则B=_ 。3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例6、已知x，y为直角三角形两边之长，满足，求第三边的长。 解析：由题意可得且 ，分别解这两个方程，可得满足条件的解为x=2,y=2,或x=2,y=3. 由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。 当两直角边长分别为2，2时，斜边长为； 当一直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为 ；当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。ACBP 综上，第三边的长为或或。4、相似三角形的对应角(或边)不确定而需分类讨论。例7、如图，在中，是的中点，过点的直线交于点，若APQ和ABC相似，求的长。解析：因APQ和ABC有公共角，由相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：作，则APQACB，于是有，即，解得；作，交边于点，则APQABC，于是有，即，解得. 则=3或。ABCDNM尝试6、正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动当DM= 时，ABE与DMN相似。 E四、与圆有关的分类讨论思想的应用1、圆周角的顶点位置不确定需分类讨论。例8、在半径为5cm的O中，弦AB=5cm，点C是O上任意一点（不与A、B重合）。则ACB=30或150。解析：一般地，弦的两个端点分圆所成的两条弧一条为优弧，一条为劣弧。当点C在优弧AB上时，ACB=30；当点C在劣弧AB上时，ACB=150.2、两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类讨论。例9、已知O的直径为10cm，弦AB=8cm,弦CD=6cm,且ABCD，则AB和CD之间的距离为1cm或7cm 。解析：分弦AB、CD在圆心O的同侧和异侧两种情况计算。3、两圆相切，内切、外切不确定需分类讨论。例10、若两圆相切，圆心距为7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为3或11.尝试7、已知O的半径为2，点P是O外一点，OP的长为3，那么以点P为圆心，且与O相切的圆的半