固体物理第五章晶体中的电子状态.ppt

固体的电子理论,固体性质,金属电子论,30年代周期场中的电子状态，能带理论近自由电子近似和紧束缚近似,经典的自由电子模型(金属),现代近自由电子模型,导体、半导体和绝缘体的能带模型,1）电子运动的薛定谔方程（不考虑时间量）：,5.1金属中的自由电子状态,电子所处的势场恒定，共有化的价电子彼此独立运动，每个电子的运动用薛定谔描述，满足炮利不相容原理，服从F-D分布规律。,金属自由电子模型基于量子力学,一.金属中自由电子的状态和能级,自由电子：动量、能量不变平面波,分离变量法：,运动方程分解为：,2）电子波函数,A为归一化常数：,AV1/2=L3/2L:自由电子运动的空间的边长,状态代表点在k空间中的分布,3）电子能量,每一组量子数（nx，ny，nz）确定一个电子波矢k，一个状态。,1）能级状态密度：单位能量间隔内电子态的数目,能量在EE+dE范围内的能量状态数与半径为kk+dk的球壳之间k的数量相对应：,如果每个状态可以容纳两个电子：,电子占据能量E状态的几率服从F-D分布：,能量在E和EdE之间的电子平均数：,系统中电子的总数：,为T=0时费米子所占据的最高能级,2）电子的分布,（EF：费米能级）,状态完全填满,状态全空,较低温，T0,由于热激发，有部分电子由之下跳到之上能级，主要发生在上下几个能量范围内,（室温满足该条件）,三、自由电子论的成功与局限性,自由电子模型成功解释了电子的零点能、电子气的比热、热导率等众多金属的性质,自由电子模型不能解释过渡金属中的电子比热问题、不能解释金属电导率对温度的依赖关系、不能解释非金属的性质,原因：自由电子论没有考虑晶体中的电子受到的格点原子和其他电子对它的相互作用。,5.2电子在周期场中运动的波函数布洛赫函数,实际晶体中的电子，是在晶体中所有格点上的离子和其他所有电子所产生的势场中运动的，是一个很复杂的多体问题,能带论利用三个假设：,2、单电子近似：认为一个电子在离子和其它电子构成的势场中运动，哈特利富克自洽场近似，即单电子近似，多电子问题单电子问题,3、周期场近似：由晶格的周期性，我们可以合理的认为电子和离子形成的场具有周期性，V(r)V(rR)，所以能带理论又称为周期场理论。,1、绝热近似：把电子和离子的运动分开考虑，称为波恩哈本哈莫近似，即绝热近似，多体问题多电子问题；,一、晶体中电子的运动状态方程：,一维哈密顿算符,二、晶体中电子的本征函数(非简并),引入平移算符：,作用于任意函数，使函数平移个周期,步骤一：证明,步骤二：求平移算符的本征函数,步骤三：获得电子的本征函数,1）与相互对易,求解晶体中波函数的形式和性质,所以，与有共同的本征函数,故能量算符和平移算符具有共同的本征函数,2）求平移算符的本征函数,同理：,平移算符彼此对易,若,为对应的本征值,S为整数,满足平移算符连续作用是所遵守的加法关系,将本征值代入本征方程中：,满足以上方程的波函数解可表示为：,3）晶体中的电子波函数,因为，与有共同的本征函数,晶体中，电子波函数为：,三、布洛赫定理,一维布洛赫函数,1、当电子在原子之间运动时，势场起伏不大，其波函数应类似于平面波，表示为平面波因子,4）布洛赫函数的直观理解：,自由电子近似中，认为电子所处的势场是恒定，不受晶格周期性的影响，所以电子的波函数是平面波,在单电子近似下，电子处在周期性势场中，其波函数受周期性势场的调制，所以形式为调幅平面波,2、当电子运动到原子核附近将受到该原子的较强作用，使其行为接近于原子中的电子，而强烈地体现出原子的周期性排列，表示为带有原子波函数成分的周期函数。,四、布里渊区,周期为N的一维体系在平移算符的操作下应该具有周期性：,平移算符的本征值是波矢k的周期函数:k=2/a,为使本征值与波矢一一对应，将k限制在