《函数极值的概念》PPT课件

2.3.1函数极值的概念,2.3.2函数极值的求法,第2章极限,2.3函数的极值,2.3.3函数最值的求法,2.3.3函数最值应用举例,函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?,观察图像：,2.3.1函数极值的概念,设函数y=f(x)在(a,b)内连续,x0是(a,b)内一点,如果对于点x0近旁的任意一点x，均有f(x)f(x0)，则就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0是f(x)的一个极大点；,如果对于点x0近旁的任意一点x，均有f(x)0,f(x)0,2.3.2函数极值的求法,(1)确定函数的定义域；,求可导函数f(x)的极值点和极值的步骤：,(2)求出导数f(x)；,(3)令f(x)=0，求出f(x)的全部驻点；,用驻点把定义域划分为部分区间，考察每个部分区间内f(x)的符号，以确定每个驻点是否是极值点，若是极值点，确定是极大点还是极小点。,例,求,(4)列表讨论，如下：,x,f(x),f(x),(,2),+,2,0,(2,3),单调减少,3,0,(3,+),单调增加,函数在x=2处取得极小值62在x=3处取得极大值16.5,的单调区间和极值.,解：(1)f(x)的定义域为(,)；,(2)f(x)=3x+3x+18,(3)令f(x)=0得驻点x1=2,x2=3,单调减少,极小值62,极大值16.5,2.3.3函数最值的求法,问：最大值与最小值可能在何处取得？,怎样求最大值与最小值？,观察极值与最值的关系：,如果函数f(x)在a,b上单调增加(减少)，则f(a)是f(x)在a,b上的最小值(最大值)，f(b)是f(x)在a,b上的最大值(最小值)。,函数的最值一般分为两种情况：,（1）,如果连续函数在区间(a,b)内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间a,b上的最大(小)值。,函数的最值一般分为两种情况：,（2）,求函数在区间内的最值的步骤,求出函数y=f(x)在(a,b)内的全部驻点和驻点处的函数值；,(2)求出区间端点处的函数值；,比较以上各函数值，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。,求函数y=x+3x9x在上4,4的最大值和最小值。,解(1)由f(x)=3x+6x9,(2)区间端点4,4处的函数值为f(4)=20,f(4)=76,(3)比较以上各函数值，,例,得驻点为x1=3，x2=1,驻点处的函数值为f(3)=27,f(1)=4,可知函数在4,4上的最大值为f(4)=76，最小值为f(3)=27,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。,答案,最大值f(/2)=/2，最小值f(/2)=/2,最大值f(3/4)=5/4，最小值f(5)=5+,最大值f(1)=29，最小值f(3)=61,练习,2.3.4函数最值应用举例,在实际问题中，如果函数f(x)在某区间(a,b)内只有一个驻点x0，而且从实际问题本身又可以知道函数在(a,b)内必有最大值或最小值，那么f(x0)就是所求的最大值或最小值.,把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？,题例,解设截去的小正方形的边长为xcm,方盒容积为Vcm,把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？,题例,方盒容积为Vcm,则V=x(482x),(0x24),解设截去的小正方形的边长为xcm,把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？,题例,解设截去的小正方形的边长为xcm,方盒容积为Vcm,则V=x(482x),(0x24),求导数得V=(482x)+2x(482x)(2),令V=0,求得函数的唯一驻点为x=8,于是,当x=8时函数V取得