《函数极限通论》PPT课件

1,第四章函数极限通论,郇中丹2006-2007学年第一学期,2,基本内容,1数值函数极限的统一形式2函数沿基极限的性质3函数沿基极限存在的条件,3,1.数值函数极限的统一形式,一元函数极限的基本形式集合基函数沿基收敛函数沿基的无穷极限,4,一元函数极限的基本形式,微积分研究的基本对象是.基本工具是极限.而一元数值函数(m=n=1)是其中的最简单和最基本情形.在微积分中,A一般是区间.一元函数的极限分成下面的六类:在一点的极限、在一点的左极限、在一点的右极限、在处的极限、在+处的极限、在-处的极限.x0相对于A的空心邻域=xA|00.,6,函数沿基收敛,设:AR,B是A的一个基,lR.沿B收敛到极限l,如果e0,bB,xb,|(x)-l|0,bB,xb,(x)c.记做(x)+(沿基B)或类似地可以给出极限为,或-的定义.在下面的讨论中,如果没有特殊申明,一般讨论所说的极限都是有限极限.,8,习题八(I),1.写出下列极限的定义和相应的基:2.验证下列极限,9,习题八(II),3.证明:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+侧基,-侧基和基都具有如下性质:存在可数多个终端bn满足(1)若m0,使得xD,|(x)|c,就说在D上有界.类似地可以定义有上界和有下界.函数的终极有界性:设:AR,B是A的一个基.如果存在bB,使得xb,|(x)|c,就说关于基B终极有界.类似地可以定义终极有上界和终极有下界.无穷小量:若a(x)0(沿基B),就称a是沿基B的无穷小函数或无穷小量.,12,极限基本性质(I),1.惟一性:若函数沿基B的极限存在,则极限是惟一的.2.极限的终极惟一性:设存在bB,使得xb,(x)=g(x).如果(x)l(沿基B),则g(x)l(沿基B).3.终极有界性:若(x)l(沿基B),则关于基B终极有界.,13,极限基本性质(II),4.非零极限的终极保号性:设(x)l(沿基B).若l0,则存在bB,使得xb,(x)l/2.若l0,在(0,a)上有界.证明:如果,则,17,3函数沿基极限存在的条件,函数沿基存在极限的Cauchy准则Heine收敛性和常见基Cauchy收敛性和Heine收敛性复合函数的极限定理无穷小函数的阶大O与小o记号,18,函数沿基存在极限的Cauchy准则,Cauchy准则:函数沿基B有极限,当且仅当e0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|0,则bB,使得xb,|(x)-l|0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|e.先构造构造出候选极限l,然后证明(x)l.3.构造闭区间套Dn和终端列b(n)使其满足:(1)xb(n),(x)Dn;(2)若n0,则存在n使得1/ne.则xb(n),(x)Dn;由lDn,|(x)-l|Dn|1/ne.5.递归构造所需闭区间套Dn和终端列b(n):取e=1,则b(1)B,使得x,yb,|(x)-(y)|1.取定yb(1),则xb(1),|(x)|1+|(y)|.记m(1)=inf(x)|xb(1);M(1)=sup(x)|xb(1).取D1=m(1),M(1).则M(1)-m(1)supf(x)-inff(y)=supf(x)+sup-f(y)=sup(f(x)-f(y)sup|f(x)-f(y)|1.,20,Cauchy准则证明(续II),假设完成闭区间套Dn和终端列b(n)前k个闭区间和前k个终端的构造使得当n,m=1,.,k时,有(1)xb(n),(x)Dn;(2)若nn,cmcn.例子:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+基,-基和基都是常见基.,22,Cauchy收敛性和Heine收敛性(I),Cauchy收敛性保证Heine收敛性:如果(x)l(沿基B),则沿基B在Heine意义下收敛.证明:假设(x)l(沿基B).任取A中的xn满足:bB,n0,nn0,xnb.对于数列(xn),任取e0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|n0,xnb.因而m,nn0,xm,xnb,所以|(xm)-(xn)|0,使得bB,x,yb满足|(x)-(y)|e.特别nN,xn,yncn满足|(xn)-(yn)|e.2.定义数列zn:当n为偶数时,zn=xn/2;当n为奇数时,zn=y(n+1)/2.则(zn)是发散的.这是由于nN,|(z2n+2)-(z2n+1)|=|(xn+1)-(yn+1)|e.,24,Cauchy收敛性和Heine收敛性(III),3.数列zn满足bB,n0,nn0,znb.这是由于bB,cmb,这样km,ckcmb,因而n2m时,znb.4.所以沿常见基B在Heine意义下不收敛.矛盾.#,25,复合函数的极限性质(I),定理1.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)l(沿基B),(y)(l)(yl),则(g(x)(l)(沿基B).证明:任取e0,由(y)(l)(yl),存在d0,使得yD,|y-l|d,必有|(y)(l)|e.在由g(x)l(沿基B),存在bB,使得xb,|g(x)-l|d.注意g(x)D,则xb,|(g(x)-(l)|d,就说是Wg,记作=W(g);特别若(x)=o(xm)(x0),就说(x)是m界无穷小(x0).,29,大O与小o记号的例子,1.(x+1)/(x+2)=O(1)(x);2.(sinx)/x=o(1)(x);3.(sinx)/x=O(1/x)(x);4.(sinx)/x=W(1/x)(x);5.x1/2-xx1/2(x0+);6.x1/2-x-x(x+).sn(x)AA若bR,30,习题十,1.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)l(沿基B),且bB,g(b)D且xb,g(x)l,(y)l(yl),则(g(