函数与方程思想的典型例题

函数与方程思想的典型例题例1设函数的定义域为R，对任意实数有，且，.(1)求证：；(2)若时，求证：在上单调递减；(3)求的最小周期并*证明.解析(1)且，.又，.，且，.(2)且时，当时，.设，则.，.，即在上单调递减.(3)由(1)得，说明是原函数的一个周期.假设也是原函数的一个周期，且，则由得.但若时，因原函数是单调递减函数，所以，两者矛盾；若时，从而，两者矛盾，所以不是原函数的一个周期，即是原函数的最小正周期.答案见解析例2已知函数f(x)=x2(m+1)x+m(mR)(1)若tanA、tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m5；(2)对任意实数，恒有f(2+cos)0，证明m3；(3)在(2)的条件下，若函数f(sin)的最大值是8，求m的值.解析(1)证明：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依题意：，又A、B锐角为三角形内两内角，A+B.tan(A+B)0，即.m5.(2)证明：f(x)=(x1)(xm)，又1cos1，12+cos3，恒有f(2+cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0.mx但xmax=3，mxmax=3.(3)f(sin)=sin2(m+1)sin+m=，且2，当sin=1时，f(sin)有最大值8，即1+(m+1)+m=8，m=3.答案见解析例3两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.解析解法一：(1)如图所示，由题意知ACBC，其中当时，y=0.065，所以k=9.所以y表示成x的函数为.(2)，令得，所以，即，当时，即所以函数为单调减函数，当时，即所以函数为单调增函数.所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值.解法二：(1)同上.(2)设，则，所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0，160)上为减函数，在(160，400)上为增函数.设0m1m2160，则，因为0m1m24240240，9 m1m29160160，所以.所以，即，函数在(0，160)上为减函数.同理，函数在(160，400)上为增函数，设160m1m2400，则.因为1600m1m2400，所以49160160所以.所以，即，函数在(160，400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”，函数y有最小值.所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.答案见解析例4有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数()，表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.(1)证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为，.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.解析 (1)证明：当，而当，函