复变函数与积分变换试题复变函数与积分变换期末试题(附有答案)

复变函数与积分变换试题复变函数与积分变换期末试题(附有答案) 复变函数与积分变换期末 一填空题（每小题3分，共计15分） 1 1-i 的幅角是 ；2. 2 (5) Ln (-1+i ) 的主值是 1f (z ) =）f （ ；3. 1+z 2，(0) =（ 0 ），4z =0是 z -sin z 1 f (z ) =的（ 一级 ）极点；5 ，Re s f (z ), =（-1 ）； z 4z 二选择题（每题3分，共15分） 1解析函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）； （A ） f (z ) =u x +iu y ； （B ）f (z ) =u x -iu y ； （C ） f (z ) =u x +iv y ； （D ）f (z ) =u y +iv x . C 2C 是正向圆周z =3，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0 33(z -1) 3(z -1) ； （B ）； （C ）； 2z -2z -2(z -2) （A ） n c z 3如果级数n n =1 在z =2点收敛，则级数在 （A ）z =-2点条件收敛 ； （B ）z =2i 点绝对收敛； 共6页第 页 （C ）z =1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散 下列结论正确的是( ) （A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析； （C ）如果 C f (z ) dz =0，则函数f (z ) 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（ ） 1 为sin 的可去奇点；(A) (B) 为sin z 的本性奇点； z (C) 为 的孤立奇点sin z 1 三按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，求 2 2 2 2 a , b , c , d . 解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件 共6页第 页 ?u ?v ?u ?v =- ?x ?y ?y ?x 2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy , a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1, 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 e z d z 其中C 是正向圆周： （2）计算C 2 (z -1) z 解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 e z 因为函数f (z ) =在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22 (z -1) z 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1, c 2 且位于c 内 e z C (z -1) 2z d z =C 1 e z e z (z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z e z e z =2i () +2i z z =1(z -1) 2 =2i z =0 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。 z 15 （3）d z z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3 解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z 共6页第 页 z 15 z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3d z =-2i Re s f (z ), -（5分） 11 =2i Re s f () 2 -（8分） z z 11f () 2=z z 1() 15(1+ 12143) (2+() ) 2 z z 1 2z 111f () 2=有唯一的孤立奇点z =0, z z z (1+z 2) 2(2z 4+1) 3 11111Re s f () 2, 0=lim zf () 2=lim =1 2243 z z z z (1+z ) (2z +1) z 0z 0 z 15 d z =2i -（10分） z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3 z (z 2-1)(z +2) 32 (z -3) （4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇 (sinz ) 3 点？，如果有极点，请指出它的级. 解 ： z (z 2-1)(z +2) 3(z -3) 2 f (z ) =的奇点为z =k , k =0, 1, 2, 3, ，3 (sinz ) sin z ）=0的三级零点，（1）z =k , k =0, 1, 2, 3, 为（ ，z =1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点，（2）z =0 （3）z 3 =3为f (z ) 的一级极点， 共6页第 页 （4）z =2, -3, 4 ，为f (z ) 的三级极点； （5）为f (z ) 的非孤立奇点。 备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 1 在以下区域内展开成罗朗级数； 2 z (z -1) 四、（本题14分）将函数f (z ) = （1）0 解：（1）当0 111 f (z ) =2=- z (z -1) (z -1) (z -1+1) 1 =(-1) n (z -1) n 而 (z -1+1) n =0 =(-1) n n (z -1) n -1 n =0 f (z ) =(-1) n +1n (z -1) n -2 -6分 n =0 （2）当0 111f (z ) =2=-2=-2 z (z -1) z (1-z ) z n z n =0 共6页第 页 =-z n -2 -10分 n =0 （3）当1 f (z ) = 11 = z 2(z -1) z 3(1-1) z 1n 1 () =n +3 -14分 n =0z n =0z 1 f (z ) =3 z 每步可以酌情给分。 五（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题： ?y (x ) -5y (x ) +4y (x ) =e -x ? ?y (0) =1=y (0) =1 解：对y (x ) 的Laplace 变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有 1 （5分） s +1 s 2L (s ) -s -1-5(sL (s ) -1) +4L (s ) = 得 11 + (s +1)(s -1)(s -4) s -11111 （7分） =-+ 10(s +1) 6(s -1) 15(s -4) s -1151 =+ 10(s +1) 6(s -1) 15(s -4) L (s ) = 1-x 5x 14x e +e +e （10分） 10615 共6页第 页 y (x ) = 六、（6分）求 f (t ) =e + -t (0) 的傅立叶变换，并由此证明： cos t -t d =e 22?0+ -t -i t 解：F () =?e e - + dt (0) -3分 F () =?e - -i t t e dt +?e -i t e -t dt (0) + + =?e - (-i ) t dt +?e -(+i ) t dt (0) = e (-i ) t 0 - - e -(+i ) t + (0) F () = 112+ =2 (0) -4分 2 -i +i + + 1f (t ) = 1=? - e i t F () d (0) - -5分 ? + - e i t 2 d (0) 22 + = ?2 1 + 2 + 2 - (cost +i sin t ) d (0) = ? + cos t i + 2+2sin t ?-2+2 (0) + 共6页第 页 f (t ) = 2 ? + cos t (0) ， -6分 22 + + cos t -t d =e 22?0+ ?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准（B ） 填空题（每小题3分，共计15分） （）；2. Ln (-1-i ) 的 ）；3. f (z ) = 1 1+z 2 ， f (7) (0) =（ 0 ）； z -sin z 1 f (z ) =f (z ) =Re s f (z ), 0=4 ，（ 0 ） ；5 ， z 2z 3 Re s f (z ), =（ 0 ）； 二选择题（每小题3分，共计15分） 1解析函数 f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）； （A ） f (z ) =u y +iv x ； （B ）f (z ) =u x -iu y ； （C ） f (z ) =u x +iv y ； （D ）f (z ) =u x +iu y . C 2C 是正向圆周z =2，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0 3z 3z 3 （B ）； （C ）； （D ）. 22 z -1(z -1) (z -1) 共6页第 页 3如果级数c n z n 在z =2i 点收敛，则级数在 n =1 （A ）z =-2点条件收敛 ； （B ）z =-2i 点绝对收敛； （C ）z =1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散 下列结论正确的是( ) （A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析； (B) 如果f (z ) dz =0, 其中C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z ) 在C 所围成 C 的区域内一定解析； （C ）函数f (z ) 在z 0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数，而且展开式是唯一的； （D ）函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、 v (x , y ) 在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（ ） （A ）、n z l 是复平面上的多值函数； (B ) 、cosz 是无界函数； z (C ) 、sin z 是复平面上的有界函数；（D ）、e 是周期函数 三按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） 2 2 2 2 （1）求a , b , c , d 使f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数， 解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件 共6页第 页 ?u ?v ?u ?v =- ?x ?y ?y ?x 2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy , a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1, 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 （2） C 1 d z 其中C 是正向圆周z 2 z (z -1) =2； 解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 1 在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22 (z -1) z 因为函数f (z ) = 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1, c 2 且位于c 内 1 C (z -1) 2z d z =C 1 11(z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z 11 =2i () +2i z z =1(z -1) 2 1 3z =0 z =0 z e d z ，其中C 是正向圆周z =2； （3）计算C (1-z ) 解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z z =2 f (z)dz =-2i Re s f (z ), =2ic -1 -（5分） 共6页第 页 1 31z 21z z e z e 111111=-=-z 2(1+ )(1+ ) 23231(1-z ) z 2! z 3! z z z z 1-z =-(z 2+z +111111+ )(1+ ) 2232! 3! z 4! z z z z 811+) =- 32! 3! c -1=-(1+1+ z =28f (z)dz =-2i 3 (z 2-1)(z +2) 3 （4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(sinz ) 3 极点，请指出它的级. f (z ) 的奇点为z =k , k =0, 1, 2, 3, ， 3z =k , k =0, 1, 2, 3, 为（sin z ）=0的三级零点， z =1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点， z =0, 2, -3, 4 ，为f (z ) 的三级极点； 为f (z ) 的非孤立奇点。 给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 共6页第 页 11 四、（本题14分）将函数f (z ) = 朗级数； 1在以下区域内展开成罗z 2(z +1) （1）0 （1）0 解：（1）当0 111f (z ) =2= z (z +1) (z +1) (1-(z +1) 1n -1n =n (z +1) =(z +1) 而 (1-(z +1) n =0n =0 f (z ) =n (z +1) n -2 -6分 n =0 （2）当0 11f (z ) =2=z (z +1) z 2 n n (-1) z n =0 =(-1) z n -2 -10分 n =0 （3）当1 共6页第 页 12 f (z ) =11=z 2(z +1)