《曲线积分》PPT课件

学习重点,理解曲线积分的定义,掌握计算曲线积分的方法,理解格林公式,第四节曲线积分,上页下页返回结束,一、第一类曲线积分,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,1.第一类曲线积分的概念,上页下页返回结束,定义,上页下页返回结束,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,上页下页返回结束,存在条件：,推广,上页下页返回结束,注意：,上页下页返回结束,性质,上页下页返回结束,2.第一类曲线积分的计算,定理,上页下页返回结束,注意:,特殊情形,上页下页返回结束,推广:,上页下页返回结束,例1,解,上页下页返回结束,例2,解,例3,解,上页下页返回结束,例4,解,由对称性,知,上页下页返回结束,几何与物理意义,上页下页返回结束,上页下页返回结束,二、第二类曲线积分,实例:变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,1.第二类曲线积分的概念,上页下页返回结束,求和,取极限,近似值,精确值,上页下页返回结束,1.定义,上页下页返回结束,类似地定义,上页下页返回结束,2.存在条件：,3.组合形式,上页下页返回结束,4.推广,上页下页返回结束,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,上页下页返回结束,2.第二类曲线积分的计算,定理,上页下页返回结束,特殊情形,上页下页返回结束,上页下页返回结束,例1,解,上页下页返回结束,上页下页返回结束,例2,解,上页下页返回结束,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,上页下页返回结束,例3,解,上页下页返回结束,上页下页返回结束,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,上页下页返回结束,3.第一类与第二类曲线积分的关系,其中,（可以推广到空间曲线上）,上页下页返回结束,可用向量表示,有向曲线元；,上页下页返回结束,三、格林公式平面曲线积分与路径无关的条件,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,上页下页返回结束,1.格林(Green)公式,定理1,上页下页返回结束,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,上页下页返回结束,证明(1),上页下页返回结束,同理可证,上页下页返回结束,证明(2),两式相加得,上页下页返回结束,上页下页返回结束,G,F,证明(3),由(2)知,上页下页返回结束,上页下页返回结束,L,1.简化曲线积分,简单应用,上页下页返回结束,上页下页返回结束,2.简化二重积分,上页下页返回结束,上页下页返回结束,解,上页下页返回结束,上页下页返回结束,(注意格林公式的条件),上页下页返回结束,3.计算平面面积,上页下页返回结束,解,上页下页返回结束,上页下页返回结束,2.曲线积分与路径无关的条件,B,A,如果在区域G内有,上页下页返回结束,定理2,上页下页返回结束,两条件缺一不可,有关定理的说明：,上页下页返回结束,定理3,上页下页返回结束,上页下页返回结束,解,上页下页返回结束,解,上页下页返回结束,上页下页返回结束,1.对弧长曲线积分的概念,2.对弧长曲线积分的计算,3.对弧长曲线积分的应用,上页下页返回结束,4对坐标曲线积分的概念,5对坐标曲线积分的计算,6两类曲线积分之间的联系,上页下页返回结束,7.连通区域的概念;,8.二重积分与曲线积分的关系,3.格林公式的应用.,格林公式;,上页下页返回结束,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题