第七章玻耳兹曼统计

第七章玻耳兹曼统计7.1据公式证明，对于非相对论粒子有。解：边长L的立方体中，粒子能量本征值：，简记为其中是系统体积，常量，并以指标代表三个量子数。从而得：，代入压强公式，有。7.2试根据公式证明，对于相对论粒子，有。解:边长为L的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为：用指标表示量子数表示系统的体积，可将上式简记为其中：由此代入压强7.3选择不同的能量零点，粒子第个能级的能量可以取为或。以表示二者之差，试证明相应配分函数存在关系，并讨论由配分函数和求得的热力学函数有何差别.解:当选择不同的能量零点时，粒子能级的能量可以取为或配分函数，故根据内能的统计表达式：，容易证明根据压强的统计表达式：，容易证明根据熵统计表达式：，容易证明其他热力学函数请自行考虑。7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为，式中PS是粒子处在量子态S的概率，对粒子的所有量子态求和。证明：S态上的平均粒子数为,概率为显然有归一化条件，且粒子的平均能量可以表示为定域系统的熵为：7.5某固体含有A、B两种原子，试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为：，其中，N是总原子数，x是A原子的百分比，(1-x)是B原子的百分比。证明：A种原子在N个格点随即分布的状态数：所以混合熵当N很大时，利用公式7.6晶体含有N个原子，原子在晶体中的正常位置如图中的“O”所示.当原子离开正常位置而占据图中的“”位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子.晶体的这种缺陷称为Frenkel缺陷.(a)假设正常位置和填隙位置数都是N，试证明，由于在晶体中形成个缺位和填隙原子而具有的熵等于:(b)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为.试由自由能为极小证明，温度为T时，缺位和填隙原子数为:解:(a)晶体内N个原子，正常的格点位置亦为N.当固体的N个正常位置出现个缺位时，由于缺位位置的不同，可以有个微观状态，同样也可以有个微观状态.因此总的可能的微观状态数为：，因此弗伦克尔缺陷熵为：(b)形成个缺位和填隙原子后，固体内能的增加为自由能的改变为假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T时平衡态的自由能为极小:从而得：，即由于，上式可以近似为7.7如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，称为肖脱基缺陷.以N表示晶体中的原子数，表示晶体中的缺陷数.如果忽略晶体体积的变化，试用自由能为极小的条件证明，温度为T时，有（设），其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。解:在原有的N个正常位置中个原子转移到表面，就有个缺位，有：形成缺陷后固体熵增为形成个肖脱基后内能的增加为，自由能的改变为忽略固体体积的变化，温度为T时平衡态自由能最小要求：得，即，由于，上式近似为：7.8气体以恒定的速度沿Z方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为。证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。微观状态数为，其对数为令各有al的变化dal，lnW，因而有变化在气体沿Z方向作整体运动的情形下，分布满足：;要求;，气体分子分布是使lnW为极大。用拉氏乘子a1，b和g法，得每个dal的系数都等于零，所以有或写成动量的连续分布：在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内的分子数为7.9气体以恒定速度v0沿Z方向作整体运动。求分子的平均平动能量。解：以v0沿Z方向运动的气体，速度分布为:分子平均动能为:7.10表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体.试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率.解:在液面上物质分子的速度分布为:速率分布为:极坐标系下平均速率为:速率平方的平均值为，方均根速率为最概然速率条件确定，由此可得。7.11根据麦氏速度分布律导出两分子的相对速度和相对速率的概率分布，并求相对速率的平均值解：I先求速度分布：两分子的相对速度在dvrxdvrydvrz内的几率:v1x有关分量同理v1y分量分别为;v1z分量分别为于是，引入，则速度分布为：把变数换为vr,并对,积分，则得到速率分布为相对速率的平均值7.12试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数为：。解:单位时间内碰到单位面积器壁上，速度在范围内的子数为：用速度空间的球坐标，可以表为：对和积分有，因此得：7.13分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率和方均根速率。解：单位时间内，碰到单位面积器壁上的分子数为如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出。当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数。因此,平均速率为速率平方的平均值为即速率的方均根值为,平均动能为7.14已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：，其中a、b是常数，求粒子的平均能量。解：能量表达为：，由能均分定理：7.15气柱高H，截面S，处在重力场中，证,证明：设气体是单原子分子。在重力场中分子的能量为:配分函数为气柱的内能为:气体的热容量为7.16试求双原子分子理想气体的振动熵。解：双原子分子理想气体的振动配分函数：，引入，得7.17双原子分子，常温下远大于转动的能级间距.求双原子分子理想气体转动熵。解:用经典近似求转动配分函数：双原子分子理想气体的转动熵为：式中是转动特征温度，是分子绕质心的转动惯量，是约化质量。7.18试求爱因斯坦固体的熵。解：据爱因斯坦固体配分函数，容易得熵为7.19以n表示晶体中磁性原子的密度。设原子的总角动量量子数为l在外磁场下，原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁场假设磁矩之间的相互