随即过程第四版 ch7 刘次华 研究生课件.ppt

第七章平稳过程的谱分析,考试时间：2011-1-6上午8：40-10：40地点：45#报告厅（工学院）、45#阶二（计算机学院）,7.1平稳过程的功率谱密度,设实函数满足,则它的Fourier变换存在:,(1),并称为其频谱,(2),我们先考虑实函数的功率谱密度。,其反变换为,容易证明下面的Parseval等式,我们称为的能量谱密度。,（能量公式）,(3),事实上,通常情况下，公式(1)不能满足，如正弦函数。所以我们转而去研究在上的平均功率，即,(4),定义x(t)的功率谱密度为,那么,定义,(3)式Parseval等式变为,(5),。,公式刻画了平均功率随频率的变化规律。这也是功率谱密度这个名字的由来,下面我们把实函数的平均功率和功率谱密度的概念推广到实平稳过程.,设平稳过程在均方可积，仿照公式(4)，定义,(6),为平稳过程的平均功率.,(7),(8),7.2谱密度的性质,1,证明思路：,例1.求相关函数,所对应的功率谱密度,(1),可以看出：,例2.求相关函数,所对应的功率谱密度,解.根据维纳-辛钦公式，我们有,由公式(1)，所以，,能量集中在附近.,当X(t)是实平稳过程时,以上研究的是连续平稳过程的谱分解问题，下面我们考虑平稳时间序列的谱分解问题。,设是平稳序列.其相关函数满足,那么有,例.设(其中)是相互独立同分布的随机序列，其均值，方差.,这种随机序列在随机干扰中叫做白噪声，它普遍存在于各种波动现象中，如电流的波动，电子发射的波动，通讯设备各部分的波动等。,(4),由（4）式得到,带入(2)得,(5),那么它的相关函数为：,(5),具有下列性质的函数称为函数,函数的运算性质：,函数（冲激函数）,冲激函数的傅里叶变换,1,t,0,0,直流信号的傅里叶变换是冲激函数,均匀谱或白色谱,例3.求相关函数,所对应的功率谱密度,解：,因此,根据维纳-辛钦公式，,联合平稳过程的互谱密度及其性质,定义设为两个(实)平稳过程，定义,为它们的互谱密度，这里，,互谱密度的一些性质：,(0.1),(上节课的公式(12),性质,性质,性质,这里，,Proof.,Bythedefinitionofthepowerspectrumdensity,(上节课的公式(13),Itisstraightforwardtoderivethat,Theproofisthuscompleted.,定理假设系统L中矩阵的特征值的实部均为负。如果输入是一个复平稳过程，则输出也是一个实平稳过程：,(24),(25),(26),在上一节，我们已经证明了如下结论：给定一个线性时不变系统L=(A,B,C,0),平稳输入的响应也是一个平稳过程，即定理4.4.2成立：,的互相关函数为：,注意：这是一个与无关的量！,显然，,即：,(04),(05),即：,(28),给出。求,解.由题意可知，所以脉冲响应为：,(29),下面我们先求由维纳-辛钦公式(公式(14)知：,根据公式(29)，有,所以，,(30),(31),由公式(30),(31),我们有：,现在，我们求相关函数由维纳-辛钦公式(公式(14)知：,特别的，平均功率等于,First,根据公式(04),有,When,根据公式(05),互谱密度为：,When,Thatis,4.6.平稳过程的各态历经性,例子.空气湍流中的机翼振动的振幅的大小的均值和方差.,GivenastationaryrandomsupposewehavesomesamplesIfnisverybig,thenitsmeanvalueaswellascorrelationfunctioncanbeapproximatedvia,Ingeneral,Unfortunately,inmanycases,itisimpracticaltoobtainalargesumofsamples.,(1),(2),Question.Canweuseonlyonesampletoapproximatethemeanvalueandcorrelationfunction?,如果平稳过程的一个样本按时间的平均等于它在固定时刻的集平均(平稳过程的均值)，那么这个性质被称为平稳过程的遍历性，也叫各态历经性或各态遍历性(ergodic).,比如：对一个平稳时间序列假设为某一样本，各态历经性指：,(3),如果是X(t)离散型随即变量,即,那么公式(3)等价于：,(4),当采样时间足够长，每点状态都能被取到！Boltzmann(玻尔兹曼),定义.设是均方连续的平稳过程，,(1).如果均方极限,(5),存在，则称此极限值为在时间均值.又若,(6),(2).如果均方极限,存在，则称此极限值为在时间相关函数.又若,(7),(8),则称此平稳过程的均值具有各态历经性.,则称此平稳过程的相关函数具有各态历经性.,例子.设随即过程,定理(均值遍历性定理).设是均方连续的平稳过程，则的均值具有各态历经性的充要条件是：,(9),(10),其中，是常数，是相互独立的随机变量，且，,则,所以X(t)是平稳过程.又,所以的均值具有各态历经性.,定理(相关函数遍历性定理).设是均方连续的平稳过程，则的相关函数具有各态历经性的充要条件是：,(11),其中，是的相关函数，即,例4.6.1.设其中，是常实数，服从区间上的均匀分布，讨论的各态历经性.,解.易知是平稳过程，且,(1)