2019年高考文科数学试题全国卷3（文）

20192019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. . 2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. . 3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. . 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分, ,在每小题给的四个选项中，在每小题给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. . 1.已知集合 2 1,0,1,21ABx x，= =，则A B=（ ） A. 1,0,1 B. 0,1 C. 1,1 D. 0,1,2 1.A 2 1,x 11x ， 11Bxx= ，则1,0,1AB= ， 故选 A 2.若(1 i)2iz+=，则z =（ ） A. 1 i B. 1+i C. 1 i D. 1+i 2.D () ( 2i2i 1 i 1 i 1 i1 i 1 i)() z = + + 故选 D 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3.D 两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相 邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是 1 2 故选 D 4.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读 过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过 西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与 该校学生总数比值的估计值为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.C 由题意得，阅读过西游记的学生人数为 90-80+60=70，则其与该校学生人数之比 为 70 100=0.7故选 C 5.函数( )2sinsin2f xxx=在0,2的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.B 由( )2sinsin22sin2sin cos2sin (1 cos ) 0f xxxxxxxx=， 得sin0 x =或cos1x =，0,2x， 02x = 、 或 ( )f x在0,2的零点个数是 3， 故选 B 6.已知各项均为正数的等比数列 n a 的前 4 项和为 15，且 531 34aaa=+，则 3 a =（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.C 设正数的等比数列an的公比为q，则 23 1111 42 111 15, 34 aa qa qa q a qa qa += =+ ， 解得 1 1, 2 a q = = ， 2 31 4aa q=，故选 C 7.已知曲线eln x yaxx=+在点() 1,ae处的切线方程为2yxb=+ ，则（ ） A. ,1ae b= B. ,1ae b= C. 1, 1aeb = D. 1, 1aeb = 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 7.D ln1, x yaex = + 1 |12 x kyae = =+ = ， 1 ae = 将(1,1)代入 2yxb=+ 得21,1bb+=，故选 D 8.如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD 平面,ABCD M 是线段ED的中点，则（ ） A. BMEN=，且直线,BM EN是相交直线 B. BMEN，且直线,BM EN是相交直线 C. BMEN=，且直线,BM EN是异面直线 D. BMEN，且直线,BM EN是异面直线 8.B 如图所示， 作EOCD于O，连接ON，过M作MFOD于F 连BF，平面CDE 平面ABCD ,EOCD EO平面CDE，EO平面ABCD，MF 平面ABCE， MFB与EON均直角三角形设正方形边长为 2，易知 3,12EOONEN=， 35 ,7 22 MFBFBM= BMEN，故选 B 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 9.执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（ ） A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 9.C 输入的为0.01， 1.0 1,0.50.01?xSx=+=不满足条件； 11 0 1,0.01? 24 Sx=+ +=不满足条件； 6 111 0 1,0.00781250.01? 22128 Sx=+ +=满足条件 输出 676 1111 12 11 2222 S = += ，故选 D 10.已知F是双曲线 22 :1 45 xy C=的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 =OPOF，则OPF的面积为（ ） 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 A. 3 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 9 2 10.B 设点() 00 ,P xy，则 22 00 1 45 xy = 又453OPOF=+=， 22 00 9xy+= 由得 2 0 25 9 y=， 即 0 5 3 y =， 0 1155 3 2232 OPF SOFy = =， 故选 B 11.记不等式组 6 20 xy xy + 表示的平面区域为D，命题: ( , ),29px yDxy+ ；命题 : ( , ),212qx yDxy+ .给出了四个命题： p q ； pq ； p q ； pq ， 这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A. B. C. D. 11.A 如图，平面区域 D为阴影部分，由 2 , 6 yx xy = += 得 2 , 4 x y = = 即 A（2，4） ，直线29xy+=与直线212xy+=均过区域 D， 则 p真 q 假，有 p 假 q 真，所以真假故选 A 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 12.设( )fx是定义域为R的偶函数，且在( )0,+单调递减，则（ ） A. 23 32 3 1 log22 4 fff B. 23 32 3 1 log22 4 fff C. 2 3 3 32 1 22log 4 fff D. 23 32 3 1 22log 4 fff 12.C ( ) f x是 R 的偶函数，( () ) 33 1 loglog 4 4 ff = 2233 0 3322 333 log 4log 31,1222,log 422 = ， 又( )fx在(0，+)单调递减， ( () ) 23 32 3 log 422fff ， 23 32 3 1 22log 4 fff ，故选 C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知向量(2,2),( 8,6)ab= ，则cos, a b=_. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 13. 2 10 () 2222 282 62 cos, 10 22( 8)6 a b a b a b + = + 14.记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 37 5,13aa=，则 10 S=_. 14.100 31 71 25 , 613 aad aad =+= =+= 得 1 1, 2 a d = = 101 10 910 9 1010 12100. 22 Sad =+= += 15.设 12 FF，为椭圆 22 :+1 3620 xy C=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形，则M的坐标为_. 15.()3, 15 由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc= =， 112 28MFFFc= 2 4MF = 设点M的坐标为()() 0000 ,0,0 xyxy，则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy= ， 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy= = ，解得 0 15y =， () 2 2 0 15 1 3620 x += ，解得 0 3x =（ 0 3x = 舍去） ， M的坐标为() 3, 15 16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 1111 ABCDABC D挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心， , ,E F G H分别为所在棱的中点， 1 6cm4cmAB= BC=, AA =，3D打印所用原料密度为 3 0.9 /g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 16.1188 由题意得， 2 1 4 642 312 2 EFGH Scm= =， 四棱锥OEFG的高 3cm， 3 1 12 312 3 O EFGH Vcm = = 又长方体 1111 ABCDABC D的体积为 3 2 4 6 6144Vcm= =， 所以该模型体积为 2 21 144 12132VVVcm=， 其质量为0.9 132118.8g= 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17211721 题题 为必考题，每个试题考生都必须作答为必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答. . （一）必考题：（一）必考题： 17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 ,A B两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小 鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到( )P C的估计值 为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中, a b的值； 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表）. 17.(1)由 题得0.200.150.70a+=，解得0.35a =，由 0.050.151( )1 0.70bP C+ += = ，解得0.10b =. (2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为 0.15 20.20 3 0.30 40.20 5 0.10 60.05 74.05 + + + + + =， 乙离子残留百分比的平均值为 0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 70.15 86 + + + + + = 18.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知sinsin 2 AC abA + = （1）求B； （2）若ABC为锐角三角形，且1c =，求ABC面积的取值范围 18.(1)根据题意sinsin 2 AC abA + =，由正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA + =，因为 0A，故sin0A，消去sin A得sinsin 2 AC B + =。 0B，0 2 AC + 因为故 2 AC B + =或者 2 AC B + +=，而根据题意 ABC+=，故 2 AC B + +=不成立，所以 2 AC B + =，又因为ABC+=，代入得 3B =，所以 3 B =. (2)因为VABC是锐角三角形，由（1）知 3 B =，ABC+=得到 2 3 AC+=， 故 0 2 2 0 32 C C ，解得 62 C . 又应用正弦定理 sinsin ac AC =，1c =， 由三角形面积公式有： 22 2 sin() 111sin3 3 sinsinsin 222sin4sin ABC C aA SacBcBcB cCC = 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 22 sincoscossin 33212313 33 (sincos) 4sin43 tan38 tan8 CC CCC =+ . 又因 3 ,tan 623 CC ,故 33133 88 tan82C + ， 故 33 82 ABC S . 故 ABC S的取值范围是 33 (,) 82 19.图 1 是由矩形,ADEB Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 1,2ABBEBF=， 60FBC= ，将其沿,AB BC折起使得BE与BF重合，连结 DG，如图 2. （1）证明图 2 中的, , ,A C G D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的四边形ACGD的面积. 19.(1)证：/ADBE，/BFCG，又因为E和F粘在一起. /ADCG，A，C，G，D四点共面. 又,ABBE ABBC. AB平面 BCGE，AB平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证. (2)取CG的中点M，连结 ,EM DM.因为/ABDE，AB 平面 BCGE，所以DE 平面 BCGE，故DECG， 由已知，四边形 BCGE 是菱形，且60EBC=得EMCG，故CG 平面 DEM。 因此DMCG。 在RtDEM中，DE=1， 3EM = ，故2DM =。 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 所以四边形 ACGD 的面积为 4. 20.已知函数 32 ( )22f xxax=+. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）当03a时，记 ( )f x在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求M m的取值范 围. 20.(1)对 32 ( )22f xxax=+求导得 2 ( )626 () 3 a fxxaxx x=.所以有 当0a 时，(,) 3 a 区间上单调递增，(,0) 3 a 区间上单调递减，(0,)+区间上单调递增； 当0a =时，(,) +区间上单调递增； 当0a 时，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3 a +区间上单调递增. (2) 若02a， ( )f x在区间(0,) 3 a 单调递减，在区间(,1) 3 a 单调递增，所以区间0,1上最小 值为( ) 3 a f.而(0)2, (1)22(0)ffaf= +，故所以区间0,1上最大值为(1)f. 所以 3 32 (1)( )(4) 2( )( )22 33327 aaaa Mmffaaa=+=+，设函数 3 ( )2 27 x g xx=+，求导 2 ( )1 9 x g x =当02x时 ( )0g x 从而( )g x单调递减.而 02a，所以 3 8 22 2727 a a+.即Mm的取值范围是 8 ,2) 27 . 若23a， ( )f x在区间(0,) 3 a 单调递减，在区间(,1) 3 a 单调递增，所以区间0,1上最小 值( ) 3 a f而(0)2, (1)22(0)ffaf= +，故所以区间0,1上最大值为(0)f. 所以 3 32 (0)( )2 2( )( )2 33327 aaaa Mmffa=+=，而23a，所以 3 8 1 2727 a .即Mm的取值范围是 8 (,1) 27 . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 综上得Mm的取值范围是 8 ,2) 27 . 21.已知曲线 2 :, 2 x C yD=，为直线 1 2 y = 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为 ,A B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以 5 0, 2 E 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 21.(1)证明： 设 1 ( ,) 2 D t , 11 ( ,)A x y,则 2 11 1 2 yx=。 又因为 2 1 2 yx=， 所以 yx=.则切线 DA 的斜率为 1 x，故 111 1 () 2 yx xt+=，整理得 11 2210txy+ =.设 22 (,)B xy，同理得 11 2210txy+ =. 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy都满足直线方程2210txy+ =.于是直线 2210txy+ =过点,A B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为 2210txy+ =.即2( 21)0txy+ +=， 当20, 210 xy=+ =时等式恒成立。 所以直线AB 恒过定点 1 (0, ) 2 . (2)由(1)得直线AB方程为221 0txy+ =，和抛物线方程联立得： 2 2210 1 2 txy yx + = = 化简得 2 210 xtx = .于是 12 2xxt+=, 2 1212 () 121yyt xxt+=+ =+ 设M为线段AB的中点，则 2 1 ( ,) 2 M t t + 由于EM AB ，而 2 ( ,2)EMt t=,AB与向量(1, ) t平行，所以 2 (2)0tt t+=， 解得0t =或1t =. 当0t =时，(0, 2)EM =，2EM =所求圆的方程为 22 5 ()4 2 xy+=; 当1t =时，(1, 1)EM =或( 1, 1)EM = ，2EM =所求圆的方程为 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 22 5 ()2 2 xy+=. 所以圆的方程为 22 5 ()4 2 xy+=或 22 5 ()2 2 xy+=. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答, ,如果多做，则如果多做，则 按所做的第一题计分按所做的第一题计分 选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，( 2,) 4 B ，( 2,) 4 C ，(2, )D，弧AB，BC， CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1, ) 2 ，(1, )，曲线 1 M是弧AB，曲线 2 M是弧BC， 曲线 3 M是弧CD. （1）分别写出 1 M， 2 M， 3 M的极坐标方程； （2）曲线M由 1 M， 2 M， 3 M构成，若点P在M上，且| |3OP =，求P的极坐标. 22.(1)由题意得，这三个圆的直径都是