2019年高考文科数学试题天津（文）

绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数 学（文史类）学（文史类） 本试卷分为第本试卷分为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150150 分，考试用时分，考试用时 120120 分钟。第分钟。第卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第卷卷 3 3 至至 5 5 页。页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利祝各位考生考试顺利 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1.1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，干净后，再选涂其他答案标号。再选涂其他答案标号。 2.2.本卷共本卷共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分共分共 4040 分。分。 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件A A，B B互斥，那么互斥，那么()( )( ) P ABP AP B=+ . . 圆柱的体积公式圆柱的体积公式VSh=，其中，其中S表示圆柱的底面面积，表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高表示圆柱的高 棱锥的体积公式棱锥的体积公式 1 3 VSh=，其中，其中S表示棱锥的底面面积表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合1,1,2,3,5A= ，2,3,4B = ，|13CxRx= ，则()ACB = A. 2 B. 2，3 C. -1，2，3 D. 1，2，3，4 1.D 因为1,2AC =， 所以()1,2,3,4ACB =. 故选 D。 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 2.设变量 , x y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y + + ，则目标函数4zxy=+的最大值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 2.C 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4yxz=+在y轴上的截距， 故目标函数在点A处取得最大值。 由 20, 1 xy x += = ，得( 1,1)A ， 所以 max 4 ( 1) 15z= + =。 故选 C。 3.设xR，则“0 5x”是“ 11x”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.B 11x 等价于02x，故05x推不出11x； 由11x能推出05x。 故“05x”是“|1| 1x ”的必要不充分条件。 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 故选 B。 4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A. 5 B. 8 C. 24 D. 29 4.B 1,2Si= 1 1,1 2 25,3jSi= + =，8,4Si=， 结束循环，故输出8。 故选 B。 5.已知 2 log 7a =， 3 log 8b=， 0.2 0.3c = ，则, ,a b c的大小关系为 A. cba B. abc C. bca D. cab 5.A 0.20 0.30.31c = ； 22 log 7log 42=； 33 1log 8log 92=。 故cba。 故选 A。 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 6.已知抛物线 2 4yx=的焦点为F，准线为l.若l与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的两条渐近线分别交 于点A和点B，且| 4|ABOF=（O为原点） ，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 6.D 抛物线 2 4yx=的准线l的方程为1x =， 双曲线的渐近线方程为 b yx a = ， 则有( 1,), ( 1,) bb AB aa 2b AB a =， 2 4 b a =，2ba=， 22 5 cab e aa + = 。 故选 D。 7.已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA=+是奇函数， 且( )fx 的最小正周期为， 将( ) yf x= 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 所得图象对应的函数为( )g x.若2 4 g = ， 则 3 8 f = A. -2 B. 2 C. 2 D. 2 7.C ( )f x为奇函数，可知(0)sin0fA= ， 由可得0=； 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得 1 ( )sin 2 g xAx=， 由( )g x的最小正周期为2可得2=， 由()2 4 g =，可得2A=， 所以( )2sin2f xx=， 33 ()2sin2 84 f =。 故选 C。 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 8.已知函数 2,01, ( ) 1 ,1. xx f x x x = 剟 若关于x的方程 1 ( )() 4 f xxaaR= +恰有两个互异的实数解， 则 a的取值范围为 A. 5 9 , 4 4 B. 5 9 , 4 4 C. 5 9 ,1 4 4 D. 5 9 ,1 4 4 8.D 如图，当直线 1 4 yxa= +位于B点及其上方且位于A点及其下方， 或者直线 1 4 yxa= +与曲线 1 y x =相切在第一象限时符合要求。 即 1 12 4 a +，即 59 44 a， 或者 2 11 4x = ，得2x =， 1 2 y =，即 11 2 24 a= +，得1a =， 所以a的取值范围是 5 9 ,1 4 4 。 故选 D。 绝密绝密启用前启用前 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1.1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.2.本卷共本卷共 1212 小题，共小题，共 110110 分。分。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 9.i是虚数单位，则 5 1 i i + 的值为_. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 9.13 5(5)(1) 2313 1(1)(1) iii i iii = + 。 10. 设xR，使不等式 2 320 xx+ 成立的x的取值范围为_. 10. 2 ( 1, ) 3 2 320 xx+ ， 即(1)(32)0 xx+， 即 2 1 3 x ， 故x的取值范围是 2 ( 1, ) 3 。 11. 曲线cos 2 x yx=在点()0,1处的切线方程为_. 11.220 xy+= 1 sin 2 yx= ， 当0 x =时其值为 1 2 ， 故所求的切线方程为 1 1 2 yx = ，即220 xy+=。 12.已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_. 12. 4 . 由题意四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为 5 12 = ，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为 1 2 ，一个底面的圆 心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为 2 1 1 24 = 。 13. 设0 x ，0y ，24xy+=，则 (1)(21)xy xy + 的最小值为_. 13. 9 2 由24xy+=，得2 42 2xyxy+=，得2xy (1)(21)22125559 22 22 xyxyxyxy xyxyxyxy + =+= ， 等号当且仅当 2xy= ，即2,1xy=时成立。 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 故所求的最小值为 9 2 。 14. 在四边形ABCD中，ADBC， 2 3AB = ，5AD = ，30A = ，点E在线段CB的延长线上， 且AEBE=，则BD AE =_. 14.1 建立如图所示的直角坐标系，则(2 3,0)B， 5 3 5 (, ) 22 D 。 因为ADBC，30BAD=，所以150CBA=， 因为AEBE=，所以30BAEABE=， 所以直线BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3) 3 yx= ， 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx= 。 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx = = 得3x =，1y = ， 所以( 3, 1)E。 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE = 。 三三. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 15.2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层 抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为, , , ,A B C D E F.享受情况如 下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教 育 继续教 育 大病医 疗 住房贷 款利息 住房租 金 赡养老 人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率. 15.（I）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人. （II） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 ,A BA CA DA EA F, ,B CB DB EB F, ,C DC EC F, ,D ED FE F,共 15 种； （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ,A BA DA EA F, ,B DB EB F, ,C EC F, ,D FE F,共 11 种， 所以，事件 M 发生概率 11 () 15 P M = . 16. 在VABC中，内角ABC， ，所对的边分别为, ,a b c.已知 2bca+ = ，3 sin4 sincBaC=. （）求cosB的值； （）求sin 2 6 B + 的值. 16.()在VABC中，由正弦定理 sinsin bc BC =得sinsinbCcB=， 又由3 sin4 sincBaC=，得3 sin4 sinbCaC=，即34ba=. 又因为2bca+ =，得到 4 3 ba=， 2 3 ca=. 由余弦定理可得 222 cos 2 acb B ac + = 222 416 1 99 2 4 2 3 aaa aa + = . ()由()可得 2 15 sin1 cos 4 BB= ， 从而 15 sin22sincos 8 BBB= ， 22 7 cos2cossin 8 BBB= . 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB + +=+= = . 17. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC 平面 PCD，PACD，2CD =，3AD =， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 （）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH平面PAD； （）求证：PA平面PCD； （）求直线AD与平面PAC所成角正弦值. 17.（I）证明：连接BD，易知ACBDH=，BHDH=， 又由BGPG=，故GHPD， 又因为GH 平面PAD，PD平面PAD， 所以GH平面PAD. （II）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC， 又因为平面PAC 平面PCD，平面PAC平面PCDPC=， 所以DN 平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA， 又已知PACD，CDDND=， 所以PA平面PCD. （III）解：连接AN，由（II）中DN 平面PAC， 可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角. 因为PCD为等边三角形，2CD =且N为PC的中点， 所以 3DN = ，又DNAN， 在Rt AND中， 3 sin 3 DN DAN AD =， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 . 18. 设 n a 是等差数列， n b是等比数列，公比大于0，已知 11 3ab=， 23 ba= ， 32 43ba=+. （）求 n a 和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 2 1, , n n n c bn = 为奇数 为偶数 求() * 1 12222nn a ca ca cnN+ 18.（I）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 依题意，得 2 332 3154 qd qd =+ =+ ，解得 3 3 d q = = ， 故3 3(1)3 n ann= +=， 1 3 33 nn n b = =， 所以， n a的通项公式为3 n an=， n b的通项公式为3n n b =； （II） 1 12 222nn aca ca c+ 135212 14 26 32 ()() nn n aaaaa ba ba ba b =+ 123 (1) 36(6 312 318 363 ) 2 n n n nn = + 212 36 (1 32 33 ) n nn=+ + + ， 记 12 1 32 33n n Tn= + + 则 231 31 32 33n n Tn + = + + 得， 231 233333 nn n Tn + = + 1 1 3(1 3 )(21)33 3 1 32 nn n n n + + + = + = ， 所以 1 22 1 12 222 (21)33 3633 2 n nnn n a ca ca cnTn + + +=+=+ 22 (21)369 () 2 n nn nN + + =. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 19. 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知3 | 2|OAOB=（O为 原点）. （）求椭圆的离心率； （）设经过点F且斜率为 3 4 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心 C在直线4x =上，且OCAP，求椭圆的方程. 19.（I）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有 32ab= ， 又由 222 abc=+ ，消去b得 222 3 () 2 aac=+，解得 1 2 c a =， 所以，椭圆的离心率为 1 2 . （II）解：由（I）知， 2 ,3ac bc= ，故椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc +=， 由题意，(,0)Fc，则直线l的方程为 3 () 4 yxc=+， 点P的坐标满足 22 22 1 43 3 () 4 xy cc yxc += =+ ，消去y并化简，得到 22 76130 xcxc+= ， 解得 12 13 , 7 c xc x= ， 代入到l的方程，解得 12 39 , 214 yc yc= ， 因为点P在x轴的上方，所以 3 ( ,) 2 P cc， 由圆心在直线4x =上，可设(4, )Ct，因为OCAP， 且由（I）知( 2 ,0)Ac，故 3 2 42 c t cc = + ，解得2t =， 因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为 2， 又由圆C与l相切，得 2 3 (4)2 4 2 3 1 ( ) 4 c+ = + ，解得2c =， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 所以椭圆的方程为： 22 1 1612 xy +=. 20.设函数( )ln(1) x f xxa xe=，其中aR. （）若0a ，讨论( )fx的单调性； （）若 1 0a e ， （i）证明( )fx恰有两个零点 （ii）设 0 x为( )fx的极值点， 1 x为( )fx的零点，且 10 xx，证明 01 32xx. 20.（I）解：由已知， ( )f x的定义域为(0,)+， 且 2 11 ( )(1) x xx ax e fxaea xe xx =+=， 因此当0a 时， 2 10 x ax e ，从而( )0fx ， 所以 ( )f x在(0,)+内单调递增. （II）证明： （i）由（I）知， 2 1 ( ) x ax e fx x =， 令 2 ( )1 x g xax e= ，由 1 0a e ，可知( )g x在(0,)+内单调递减， 又(1)10gae= ，且 22 1111 (ln)1(l