2019高考理科数学浙江试题

20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学 参考公式：参考公式： 若事件,A B互斥，则()( )( )P ABP AP B+=+ 若事件,A B相互独立，则()( ) ( )P ABP A P B= 若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 ( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn = 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SSh=+ 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积，h表 示台体的高 柱体的体积公式VSh= 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh= 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 2 4SR= 球体积公式 3 4 3 VR= 其中R表示球的半径 选择题部分（共选择题部分（共 4040 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分, ,在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知全集1,0,1,2,3U = ，集合0,1,2A =，1 01B = , ,，则 UA B =（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2,3 D. 1,0,1,3 1.A = 1,3 U C A，则() 1 U C AB = 2.渐近线方程为0 xy=的双曲线的离心率是（ ） A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 2.C 根据渐近线方程为xy0 的双曲线，可得ab=，所以c 2a= 则该双曲线的离心率为 e2 c a =， 故选：C 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 3.若实数 , x y满足约束条件 340 340 0 xy xy xy + + ，则32zxy=+的最大值是（ ） A. 1 B. 1 C. 10 D. 12 3.C 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为 顶点的三角形区域 （包含边界） ， 由图易得当目标函数=3 +2zxy经过平面区域的点(2,2)时， =3 +2zxy取最大值 max 3 22 210z= + =. 4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同， 则积不容易”称为祖暅原理， 利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh= 柱体 ，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高，若 某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ） 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 A. 158 B. 162 C. 182 D. 32 4.B 由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个 上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为 2646 336162 22 + += . 5.若0,0ab，则“ 4ab+”是 “4ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.A 当0, 0ab时， 2abab+ ，则当4ab+时，有2 4abab+ ，解得 4ab，充分性成立；当=1, =4ab时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立， 综上所述，“4ab+”是“4ab”的充分不必要条件. 6.在同一直角坐标系中，函数 11 ,log(0 2 a x yyxa a =+ 且0)a 的图象可能是（ ） 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 A. B. C. D. 6.D 当01a时，函数 x ya=过定点(0,1)且单调递减，则函数 1 x y a =过定点(0,1)且 单调递增，函数 1 log 2 a yx =+ 过定点 1 ( ,0) 2 且单调递减，D选项符合；当1a 时，函数 x ya=过定点(0,1)且单调递增，则函数 1 x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数 1 log 2 a yx =+ 过定点 1 ( ,0 2 ）且单调递增，各选项均不符合.综上，选 D. 7.设01a，则随机变量X的分布列是： 则当a在()0,1内增大时（ ） A. () D X增大 B. () D X减小 C. () D X先增大后减小 D. () D X先减小后增大 7.D 方法 1：由分布列得 1 () 3 a E X + =，则 2222 111111211 ()01 333333926 aaa D Xaa + =+=+ ，则当a在 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 (0,1)内增大时，()D X先减小后增大. 方法 2：则 () 2 222 2 1(1)222213 ()()0 3399924 aaaa D XE XE Xa + =+=+ 故选 D. 8.设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点） ，记 直线PB与直线AC所成角为， 直线PB与平面ABC所成角为， 二面角PACB的 平面角为，则（ ） A. , B. , C. , D. , 8.B 方法 1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为O，则P在底面投影D在线段 AO上，过D作DE垂直AE，易得/PEVG，过P作/PFAC交VG于F，过D作 /DHAC， 交BG于H， 则,BPFPBDPED= =， 则 coscos PFEGDHBD PBPBPBPB =， 即，tantan PDPD EDBD =， 即y ， 综上所述，答案为 B. 方法 2：由最小角定理，记VAB C的平面角为（显然= ） 由最大角定理 = ，故选 B. 方法 3： （特殊位置）取VABC为正四面体，P为VA中点，易得 33322 2 cossin,sin,sin 6633 = = = = ，故选 B. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 9.已知, a bR，函数 32 ,0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x = + ，若函数( )yf xax b=恰 有三个零点，则（ ） A. 1,0ab B. 1,0ab C. 1,0ab D. 1,0ab 9.C 当0 x时 ，( )(1)0yf xaxbxaxba xb= ， 得 1 b x a = ； ( )yf xaxb=最多一个零点； 当0 x时， 3232 1111 ( )(1)(1) 3232 yf xaxbxaxaxaxbxaxb=+=+， 2 (1)yxax =+， 当1 0a+ ， 即1a 时，0y，( )yf xax b=在0，)+上递增，( )yf xax b= 最多一个零点不合题意； 当10a+ ，即1a 时，令0y得1xa+，)+，函数递增，令0y得0 x， 1)a+，函数递减；函数最多有 2 个零点； 根据题意函数( )yf xaxb=恰有 3 个零点函数( )yf xaxb=在(,0)上有一 个零点，在0，)+上有 2 个零点， 如图： 0 1 b a 且 32 0 11 (1)(1)(1)0 32 b aaab + ， 解得0b，10a， 3 1 0(11 6 ,)baa + 故选：C 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 10.设, a bR，数列 n a中， 2 11 , nn aa aab + =+， Nn ,则（ ） A. 当 10 1 ,10 2 ba= B. 当 10 1 ,10 4 ba= C. 当 10 2,10ba= D. 当 10 4,10ba= 10.A 对于 B，令 2 1 4 x+=0，得 1 2 =， 取 1 1 2 a =， 2 11 10 22 n aa=， ， 当 b 1 4 =时，a1010，故 B错误； 对于 C，令 x220，得 2或 1， 取 a12，a22，an210， 当 b2时，a1010，故 C 错误； 对于 D，令 x240，得 117 2 =， 取 1 117 2 a + =， 2 117 2 a + =， 117 2 n a + = 10， 当 b4时，a1010，故 D 错误； 对于 A， 2 2 11 22 aa=+， 22 3 113 () 224 aa=+， 422 4 319117 ()1 4216216 aaa=+=， an+1an0，an递增， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 当 n4时， 1n n a a + =an 1 2 n a +1 13 22 +=， 5 4 4 5 10 9 3 2 3 2 3 2 a a a a a a ， 10 4 a a （ 3 2 ）6，a10 729 64 10故 A 正确 故选：A 非选择题部分（共非选择题部分（共 110110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11.复数 1 1 z i = + （i为虚数单位） ，则| | z =_. 11. 2 2 112 | |1|22 z i = + . 12.已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy+ = 与圆相切于点 ( 2, 1)A ，则m=_，r =_. 12.(1). 2m= (2). 5r = 可知 11 :1(2) 22 AC kAC yx= + = +，把(0,)m代 入得2m=，此时|4 15rAC=+=. 13.在二项式 9 ( 2)x+的展开式中， 常数项是_； 系数为有理数的项的个数是_. 13. (1). 16 2 (2) 5 9 ( 2)x+的通项为 9 19( 2) (0,1,29) rrr r TCx r + = 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 可得常数项为 09 19( 2) 16 2TC=， 因系数为有理数，1,3,5,7,9r=，有 246810 T , T , T , T , T共 5 个项 14.在VABC中， 90ABC=，4AB =，3BC =， 点D在线段AC上， 若45BDC=， 则BD=_；cosABD=_. 14. (1). 12 2 5 (2). 7 2 10 在ABD中，正弦定理有： sinsin ABBD ADBBAC = ，而 3 4, 4 ABADB =, 22 ACABBC5=+= ， 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC ACAC =，所以 12 2 5 BD =. 7 2 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC =+= 15.已知椭圆 22 1 95 xy +=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点 在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_. 15.15 方法 1：由题意可知|=|2OFOM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM= ，设( , )P x y可得 22 (2)16xy+=， 联立方程 22 1 95 xy += 可解得 321 , 22 xx= =（舍） ，点P在椭圆上且在x轴的上方， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k= 方法 2：焦半径公式应用 解析 1：由题意可知|2OF|=|OM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM=，即 3 4 2 pp aexx= 求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k=. 16.已知aR，函数 3 ( )f xaxx=，若存在tR，使得 2 |(2)( )| 3 f tf t+，则实数a 的最大值是_. 16. max 4 3 a= 使得() 222 (2)( )2(2)(2)223426f tf tatt ttatt+=+=+ ， 使得令 2 3641,)mtt=+ +，则原不等式转化为存在 1 1,|1| 3 mam ，由折线函 数，如图 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 只需 11 1 33 a ，即 24 33 a，即a的最大值是 4 3 17.已知正方形ABCD的边长为 1，当每个(1,2,3,4,5,6) i i=取遍时， 123456 |ABBCCDDAACBD+的最小值是_；最大值是_. 17. (1). 0 (2). 2 5 正 方 形ABCD的 边 长 为 1 ， 可 得AB ADAC+= ， BDADAB= ， ABAD =0， ()() 12345613562456 ABBCCDDAACBDABAD+= + + + + 要使 123456 ABBCCDDAACBD+ 的最小，只需要 13556246 0 + = + += ，此时只需要取 123456 1,1,1,1,1,1 = = = = = = 此时 123456 min 0ABBCCDDAACBD+= ()() 22 12345613562456 ABBCCDDAACBDABAD+=+ ()() 22 13562456 =+ ()() 22 13562456 + ()() 22 5656 22=+ ()()() 22 56565656 84=+ ()() 2 22 565656 842=+ ()() 22 22 565656 1242=+ 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 () 2222 5656 124 2220=+= 等号成立当且仅当 1356 , 均非负或者均非正，并且 2456 , +均非负或者均 非正。 比如 123456 1,1,1,1,11 = = 则 123456 max 202 5ABBCCDDAACBD+= . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤. . 18.设函数( )sin ,f xx x=R. （1）已知0,2 ),函数()f x+是偶函数，求的值； （2）求函数 22 () () 124 yf xf x =+ 的值域. 18.(1)由题意结合函数的解析式可得：()()sinf xx+=+， 函数为偶函数，则当0 x =时，()0 2 kkZ +=+，即() 2 kkZ =+，结合 )0,2可取0,1k =，相应的值为 3 , 2 2 . (2)由函数的解析式可得： 22 sinsin 124 yxx =+ 1 cos 21 cos 2 62 22 xx + =+ 1 1cos 2cos 2 226 xx = + 131 1cos2sin2sin2 222 xxx = 133 1cos2sin2 222 xx = 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 3 1sin 2 26 x = + . 据此可得函数的值域为： 33 1,1 22 + . 19.如图，已知三棱柱 111 ABCABC，平面 11 AACC 平面ABC,90ABC=， 11 30 , ,BACAAACAC E F=分别是 11 ,AC AB的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线EF与平面 1 ABC所成角的余弦值. . 19.(1)如图所示，连结 11 ,AE B E， 等边 1 AAC中，AEEC=，则-18%， 平面 ABC平面 11 A ACC，且平面 ABC平面 11 AACCAC=， 由面面垂直的性质定理可得： 1 AE 平面ABC，故 1 AEBC， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 由三棱柱的性质可知 11 ABAB，而ABBC，故 11 ABBC，且 1111 ABAEA=， 由线面垂直的判定定理可得：BC 平面 11 ABE， 结合EF平面 11 ABE，故EFBC. (2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E为坐标原点，EH,EC, 1 EA方向分别为 x,y,z轴正方向建 立空间直角坐标系Exyz. 设1EH =，则 3AEEC= ， 11 2 3AACA=,3,3BCAB=， 据此可得：()()() 1 33 0,3,0 ,0 ,0,0,3 ,0, 3,0 22 ABAC ， 由 11 ABAB=可得点 1 B的坐标为 1 3 3 ,3,3 2 2 B ， 利用中点坐标公式可得： 3 3 ,3,3 4 4 F ，由于() 0,0,0E ， 故直线 EF方向向量为： 3 3 ,3,3 4 4 EF = 设平面 1 ABC的法向量为(), ,mx y z=，则： () () 1 3333 , , 330 2222 3333 , ,00 2222 m ABx y zxyz m BCx y zxy =+= = = += ， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 据此可得平面 1 ABC的一个法向量为 () 1, 3,1m =， 3 3 ,3,3 4 4 EF = 此时 64 cos, 53 5 5 2 EF m EF m EFm = ， 设直线 EF与平面 1 ABC所成角为，则 43 sincos,cos 55 EF m= . 20.设等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 4a =， 43 aS=，数列 n b满足：对每 12 , nnnnnn nSb Sb Sb + +N成等比数列. （1）求数列 , nn ab的通项公式； （2）记, 2 n n n a Cn b =N 证明： 12+ 2,. n CCCn n +N 20.(1)由题意可得： 1 11 24 3 2 33 2 ad adad += +=+ ，解得： 1 0 2 a d = = ， 则数列 n a 的通项公式为22 n an= . 其前 n 项和 () () 022 1 2 n nn Sn n + =. 则()()()()1,1,12 nnn n nb n nbnnb+ 成等比数列，即： ()()()() 2 1112 nnn n nbn nbnnb+=+ ， 据此有： ()()()()() ()()() 2 222 121112121 nnnnn nnn nbbn nnnnnbn nbb+=+ ， 故 ()()()() () 22 1 12121 (1)(1)(1)(2) n n nn nn bn n nnn n n nn + =+ + . (2)结合(1)中的通项公式可得： 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 () () 1122 21 211 n n n an Cnn bn nnnnnn = + ， 则()()() 12 210221212 n CCCnnn+= . 21.如图，已知点(10)F ，为抛物线 2 2(0)ypx p=，点F为焦点，过点F的直线交抛物线 于,A B两点，点C在抛物线上，使得VABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q， 且Q在点F右侧.记,AFGCQG的面积为 12 ,S S. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G的坐标. 21.(1)由题意可得1 2 p =，则2,24pp=，抛物线方程为 2 4yx=，准线方程为1x =. (2)设()( ) 1122 ,A x yB xy ， 设直线 AB方程为()1 ,0yk xk= ，与抛物线方程 2 4yx=联立可得： () 2222 240k xkxk+= ，故： 2222 2 4 2,1 k xxx x+=+=， ()() () 12121212 4 2,444yyk xxy yxx k +=+= = ， 设点 C的坐标为() 33 ,C xy ，由重心坐标公式可得： 123 3 G xxx x + = 3 2 14 2 3 x k + = ， 123 3 G yyy y + = 3 1 4 3 y k = + ， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 令0 G y =可得： 3 4 y k = ，则 2 3 3 2 4 4 y x k =.即 222 1441 2 33 8 2 G k x kk + = =， 由斜率公式可得： 1313 22 311313 4 44 AC yyyy k yyxxyy = + ， 直线 AC 的方程为：() 33 13 4 yyxx yy = + ， 令0y =可得： ()() 2 313313 313 3 4444 Q yyyyyyyy y xx + =+=+= ， 故() 11 1 1 22 181 21 323 118 223 GF y Sxxyy kk += = = ， 且()() 3 2 2 13 3 118 224 2 3 QG yy y Sxxy k + = = ， 由于 3 4 y k = ，代入上式可得： 1 2 2 228 33 y S kkk = ， 由 1212 4 ,4yyy y k += 可得 1 1 44 y yk = ，则 1 2 1 4 4 y k y = ， 则 () ()() 22 11 1 22 1 2 11 1 2 2 81 233 22 228 44 33 yy S yS yy kkk y k = + () 2 1 2 1 4 2 48 816 8 y y = + () 2 1 2 1 43 21 248 2816 8 y y = + + . 当且仅当 2 1 2 1 48 8 8 y y = ，即 2 1 84 3y =+， 1 62y =+时等号成立. 此时 1 2 1 4 2 4 y k y = ， 2 81 22 3 G x k += =，则点 G的坐标为()2,0G . 22.已知实数0a ，设函数( )= ln1,0.f xaxxx+ （1）当 3 4 a = 时，求函数( )f x的单调区间； 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 （2）对任意 2 1 ,) e x+均有 ( ), 2 x f