湖北四校（曾都一中枣阳一中襄州一中宜城一中）2020学年下学期高二期中考试数学试题含答案

四校联考数学试题第 1页，共 4 页 2019 2020 学年下学期高二期中考试数学试题 时间：120（分钟） 主命题学校：襄州一中 分值：150命题老师：孙海燕李小勤喻致勋苏辉仙 第第I I卷卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题的四个选项中，只有一在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. .） 1.将 3 名防控新冠疫情志愿者全部分配给 2 个不同的社区服务,不同的分配方案有（） A. 12 种B. 9 种C. 8 种D. 6 种 2.下列对函数求导运算正确的是（） A. 2 sincossin x xxx x x B. xx 1 ) 1 (ln C. 3 sin 3 cos D.xxcossin 3.若 8 8 2 210 4 2 1xaxaxaaxx，则 8642 aaaa() A. 2 1 B. 2 1 C.1D.0 4.函数xxxfsin)(的图象大致是 A.B. C.D. 5.数列 n a为等差数列， n S是其前n项的和，若 3 90 9 S，则 5 sina() A. 2 3 B. 2 1 C. 2 1 D. 2 3 宜城一中枣阳一中 襄州一中曾都一中 四校联考数学试题第 2页，共 4 页 6. 若 函 数xaxfcos)(与3)( 2 bxxxg图 象 在 交 点m, 0处 有 公 切 线 ， 则 mba() A6B4C3D2 7.若函数xaxxfln)2(3)(不是单调函数，则实数a的取值范围是（） A 2 1 -，B，2C0,D2 , 8.某小区有排成一排的 7 个车位，现有 4 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 3 个 车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为() A24B80C120D160 9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852 年英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经 中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由 高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩 余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 到 2030 这 2030 个自 然数中，能被 3 除余 1 且被 4 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 n a，则 此数列共有（） A168 项B169 项C170 项D171 项 10.已知数列 n a满足 nnnn aaaa 1111 112 Nn， 且 8 1 , 1 81 aa， 若 2 nnn aab 记数列 n b前n项的和为 n T，则 7 T（） A. 288 91 B 144 91 C. 72 91 D 132 87 11.已知数列 n a是等比数列且公比为q，则“0) 1 1 ( 1 1 qa ” 是 “数列 n a为递增 数列”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 四校联考数学试题第 3页，共 4 页 12.已知函数( )g x满足 12 1 ( )(1)(0) 2 x g xgegxx ，且存在实数 0 x使得不等式 )(43 0 xgt成立，则实数t的取值范围为（） A. , 3 1 B. 2 1 ,C. , 3 5 D.，3 第第卷（非选择题卷（非选择题共共 9090 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.设等比数列 n a满足1 21 aa，3 31 aa，则 3 a= _. 14.设动直线mx 与函数 3 2)(xxf，xxgln)(的图象分别交于点NM,， 则线段MN 长度的最小值为_. 15.记者要为援鄂 4 名医护人员和他们治愈的 2 位老人拍照留念，要求排成一排，2 位老人 相邻但不排在两端，不同的排法共有_种（用具体数字回答）. 16.已知数列 n n b4 Nn,记数列 n b的前n项和为 n T若对任意的 * nN，不等式 48) 3 4 (nkTn恒成立，则实数 k 的取值范围为. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本题满分 10 分） 设 n a是公差不为0的等差数列,其前n项和为 n S， 若24 4 S且 4 a为 1 a与 31 a的等比中项 (1) 求数列 n a的通项公式； (2) 设 n a n b2，记数列 n b的前n项和为 n T，求 2n T 18. (本题满分 12 分） 已知函数 x x xf ln 2 )( (1) 求)(xf的单调区间和极值；(2) 若3 , 2x时，求)(xf值域. 四校联考数学试题第 4页，共 4 页 19. (本题满分 12 分） 已知 n x x 2 的展开式中第 4 项与第 5 项的二项式系数相等 (1) 求展开式中二项式系数最大的项； (2) 求展开式中系数最大的项 20.（本题满分 12 分） 已知函数 x x axxf ln )(与1)( 2 xxg (1)若函数 f x与 g x在1x 处的切线互相垂直， 求函数 f x在) 1 (1f，处的切线方程； (2)若函数 f x有两个零点，求实数a的取值范围. 21. (本题满分 12 分) 已知各项均正的数列 n a的前n项和为 n S， 且1 1 a，236 2 nnn aaS Nnn，2 (1)求数列 n a的通项公式； (2)若数列 n b满足 cn S b n n ， 是否存在非零实数c使得 n b为等差数列? 若存在,求出c 的值,若不存在请说明理由. 22. （本题满分 12 分） 已知函数xaexf x ln)(，)( 2 )( 2 xf x exg x (1) 讨论函数)(xg的单调性； (2) 若1a，求证：aaxfln2)( 四校联考数学试题参考答案第 1页，共 4 页 20192020 学年下学期高二期中考试数学试题参考答案 CBDBA,ADCCB,CC13. 5 16 -14.)6ln1 ( 3 1 15.14416. 4 3 k 17（1）设 n a的公差为(0)d d ，则，daa3 14 ，daa21 131 4 a为 1 a， 31 a的等比中项， 311 2 4 aaa ，daada123 11 2 1 化简得 1 3 2 ad -3 分 又2464 2 34 4 114 dadaS，3 1 a，2d ，-5 分 即 n a的通项公式为12 nan-6 分 （2）由（1）得 12 2 n n b 3 8 4 3 8 41 418 222 2 2 1453 2 n n n n T -10 分 18.（1） 函数)(xf的定义域为 , 11 , 0x-1 分 2 ln 1ln2 )( x x xf ）（ 由exxf 得0)( 所以当1 , 0x时，0)( xf； 当ex，1时，0)( xf；当, ex时，0)( xf 故)(xf的单调递减区间为10，和e, 1， 单调递减区间为, e-5 分 （忘记定义域导致单调递减区间写成（忘记定义域导致单调递减区间写成e, 0，一律扣，一律扣 2 分）分） 从而函数)(xf在ex 处有极小值eefxf2)()( 极小值 ，无极大值-7 分 （2）由（1）知)(xf在e，2上单调递减，在3 , e上单调递增。所以 eefxf2)( min 3,2max max ffxf因为)3()4( 4ln 8 2ln 4 )2(fff 2ln 4 2 max fxf所以)(xf的值域为 2ln 4 ,2e-12 分 19.(1) 由题意知 43 nn CC ，7n-2 分 宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中 四校联考数学试题参考答案第 2页，共 4 页 又 7 2 x x展开式的通项为： 2 37 7 2 7 7 7 71 22 2 r r r r r r r r r r r xCxC x xCT -4 分 展开式中共有 8 项，其中二项式系数最大的项为第 4，第 5 项 所以 1 2 97 3 7 3 4 2802 xxCT， 2 5 2 127 4 7 4 5 5602 xxCT-6 分 (2) 展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在6 , 4 , 2 , 0r时， 也即在 7531 ,TTTT中产生，-8 分 而 2 7 1 xT ， 2 1 3 84xT ， 2 5 5 560 xT， 2 11 7 448 xT-11 分 故系数最大的项为第 5 项 2 5 5 560 xT-12 分 20（1） 2 ln1 )( x x axf ，xxg2)( -1 分 因为函数 f x与 g x在1x 处的切线互相垂直，所以1) 1 () 1 ( gf， 即 2 1 , 12) 1(aa x xx xf ln 2 )(-3 分 又 2 1 ) 1 (f， 2 1 ) 1 ( f 所以函数 f x在) 1 (1f，处的切线方程为) 1( 2 1 2 1 xy 即022yx-6 分 （1）令 0 ln x x axxf，则 2 ln x x a 7 分 令 2 ln x x x 3 ln21 x x x 令 0 x则ex 0 x在e, 0上单调递增 令 0 x则ex x在, e上单调递减9 分 e e e efxf 2 1ln max 2 10 分 当0x时， x当x时， 0x 四校联考数学试题参考答案第 3页，共 4 页 当)(xf有两个零点时，a的取值范围为 e2 1 , 012 分 21.解 (1) 由条件236 2 nnn aaS2n 236 1 2 11 nnn aaS3n 两式作差得)(36 1 2 1 2 nnnnn aaaaa即)(3)0 1 2 1 2 nnnn aaaa（3n 30 11 nnnn aaaa又因为各项均正，0 1 nn aa所以 03 1 nn aa即)3( , 3 1 naa nn -4 分 又当 n=2 时，23)1 (6 2 2 22 aaa4( 1, 043 222 2 2 aaaa舍）或即 所以3 12 aa也满足3 1 nn aa 从而对一切2n,( * nN)均有3 1 nn aa成立. 故数列 n a为等差数列，首项为 1，公差为 3 所以233) 1(1nnan-6 分 (说明：漏掉了说明：漏掉了3 12 aa而直接下结论为等差数列一律而直接下结论为等差数列一律 扣扣 2 分分) （2）由（1）知 2 3 2 )231 ( 2 nnnn Sn ， )(2 3 2 cn nn cn S b n n 法一;)0( 3 21 , 2 5 , 1 1 321 c c b c b c b 令 312 2bbb，解得 3 1 c-10 分 又检验当 3 1 c时n n nn bn 2 3 ) 3 1 (2 3 2 当2n 时， 2 3 1 nn bb故当 3 1 c时，数列 n b为等差数列.-12 分 法二由 cn nn cn nn cn S b n n 3 1 2 3 2 231 四校联考数学试题参考答案第 4页，共 4 页 , 0c 3 1 c可令,得到nbn 2 3 -10 分 Nnnnbb nn , 2 3 2 3 ) 1( 2 3 1 数列 n b是公差为 2 3 的等差数列 即存在一个非零常数， 3 1 c使数列 n b也为等差数列-12 分 22.(1)xa x xae x exf x exg xxx ln 2 )ln( 2 )( 2 )( 222 )0( ,)( 2 x x ax x a xxg-1 分 当0a时，0)( xg恒成立.-2 分 当0a时，axaxxg（舍）或得0)( 且当0)(, 0)(, 0 xfaxxfax时，当时，-4 分 综上：当0a时，)(xg在，0单调递增. 当0a时，)(xg在a，0上单调递减，在 ,a上单调递增.-5 分 ( (说明：没有综上作答一律扣说明：没有综上作答一律扣 1 1 分）分） (2) x axe x a exf x x )( 0x-6 分 令)0( ,)(xaxex x 0) 1()( x exx所以)(x在，0为递增函数. 1, 1 a ea01)(aaaaea a 又0x时，0)(ax 所以存在ax, 0 0 满足0)( 0 00 aexx x ，即aex x 0 0 -8 分 从而对任意 0 , 0 xx