2020年全国各地高三数学高考模拟试卷（新课标）分章精编---导数及其应用解答题三

导数及其应用94.设函数（I）若直线l与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点（1，0），求实数p的值；（II）若在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围；解：（）方法一：，设直线, 并设l与g(x)=x2相切于点M() 2代入直线l方程解得p=1或p=3. （），要使为单调增函数，须在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又，所以当时，在为单调增函数；要使为单调减函数，须在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又，所以当时，在为单调减函数 综上，若在为单调函数，则的取值范围为或 95.已知函数在区间1，1上最大值为1，最小值为2。（1）求的解析式；（2）若函数在区间2，2上为减函数，求实数m的取值范围。解：（1） （2）由，知 ， 即 96.设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.（）当a=0时，f(x)h(x)在（1,+）上恒成立，求实数m的取值范围;（）当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;（）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。解：（1）由a=0,f(x)h(x)可得-mlnx-x即 记，则f(x)h(x)在(1,+)上恒成立等价于.求得 当时;当时， 故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故. （2）函数k(x)=f(x)-h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在1,3上恰有两个相异实根。令g(x)=x-2lnx,则 当时，,当时，g(x)在1,2上是单调递减函数，在上是单调递增函数。故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3g(1)g(3),只需g(2)0，解得x或x-（舍去）故时，函数的单调递增区间为(,+)单调递减区间为(0, ) 而h(x)在(0,+)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+)故只需=，解之得m= 即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。97.已知函数且,求函数的极大值与极小值.解：由题设知令当时，随的变化，与的变化如下：0+0-0+极大极小，当时，随的变化，与的变化如下：-0+0-极小极大，总之，当时，；当时，98.设函数 （1）当的单调性； （2）若函数的取值范围； （3）若对于任意的上恒成立，求的取值范围。解：（1）当令当的变化情况如下表：02-0+0-0+单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以上是增函数，在区间上是减函数 （2）的根。处有极值。则方程有两个相等的实根或无实根， 解此不等式，得这时，是唯一极值。因此满足条件的 注：若未考虑进而得到，扣2分。 （3）由（2）知，当恒成立。当上是减函数，因此函数 又上恒成立。于是上恒成立。因此满足条件的 99.已知A、B、C是直线 上的三点，向量 、满足：（1）求函数的表达式（2）若，证明（3）若不等式对及都成立，求实数 m的取值范围解：（1）、 A、B、C三点共线 （2）、令 则所以在上单调递增，即（3）、 令 则当时， 在上单调递增当时， 在上单调递减原题对恒成立， 令则有 解得或 100.已知曲线在点（处的切线方程为（1）求与的值；（2）求的单调区间。101.已知为函数图象上一点，为坐标原点记直线的斜率（）同学甲发现：点从左向右运动时，不断增大，试问：他的判断是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请给出你的判断；（）求证：当时，； （）同学乙发现：总存在正实数、，使试问：他的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请求出的取值范围解：（）同学甲的判断不正确.依题意， .当时，；当时，.所以，在上递增，在上递减. （）,记， ，所以在上为减函数，则 .1 a e b x0y ， ，即 . （）同学乙的判断正确. ，且当时，又由（）知当时， 当时，则的图象如下图所示. 总存在正实数,且，使得. 即 ,即 ，此时. 102.已知函数，R且.()若曲线在点处的切线垂直于y轴，求实数的值；()当时，求函数的最大值和最小值.解：= =. () 曲线在点处的切线垂直于y轴， 由导数的几何意义得， . ()设，只需求函数的最大值和最小值.-7分 令，解得或. ，. 当变化时，与的变化情况如下表：00极大值极小值 函数在和上单调递增；在上单调递减； 当，即 时，函数在上为减函数. , . 当，即 时，函数的极小值为上的最小值， .函数在上的最大值为与中的较大者.，.当时，此时；当时，此时；当时，此时. 综上，当时，的最小值为，最大值为；当时，的最小值为，最大值为； 当时，的最小值为，最大值为.103.已知函数 .（I）若函数的导函数是奇函数，求的值；（II）求函数的单调区间.解：（I）是奇函数， （II），当时，恒有，为 上的单调减函数；当时，由得当时，单调递增；当时，单调递减；综上：当时，为 上的单调减函数；当时，在上单调递增；在上单调递减.104.设函数 （1）令，判断并证明在（-1，+）上的单调性，求；（2）求在定义域上的最小值；（3）是否存在实数、满足，使得在区间上的值域也为？解：（1）当时， 所以在（-1，+）上是单调递增， 。（2）的定义域是（-1，+），当时，0, ，在（-1，0）上单调递减，在（0,+）上，单调递增。 （3）由（2）知在上是单调增函数。若存在满足条件的实数、，则必有，。也即方程在上有两个不等的实数根、，但方程即为只有一个实数根，不存在满足条件的实数、。105.已知函数（）的图象为曲线（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由解：（1），则，即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；（2）由（1）可知，解得或，由或得：；（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B， 则切线方程是：， 化简得：， 而过B的切线方程是， 由于两切线是同一直线，则有：，得， 又由， 即 ，即 即， 得，但当时，由得，这与矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。106.设 （1）判断函数的单调性； （2）是否存在实数、使得关于的不等式在（0，）上恒成立，若 存在，求出的取值范围，若不存在，试说明理由； （3）求证： （其中为自然对数的底数）.解：（1） ，设.，在上为减函数， 函数在上为减函数（2）在上恒成立，在上恒成立，设，则，若，则时，恒成立，在上为减函数在上恒成立，在上恒成立，若显然不满足条件，若，则时，时，在上为增函数，当时，不能使在上恒成立， （3）由（2）可知在上恒成立, ，取，即可证得对一切正整数成立107.已知 ，其中（）求使在上是减函数的充要条件；（）求在上的最大值；（）解不等式解：（） 时，即当时， 即在上是减函数的充要条件为（）由（）知，当时为减函数，的最大值为；当时，当时，当时即在上是增函数，在上是减函数，时取最大值，最大值为 即 （）在（）中取，即 由（）知在上是减函数，即，解得：或故所求不等式的解集为108.已知函数(其中)，点，从左到右依次是函数图象上三点,且.() 证明: 函数在上是减函数；() 求证：是钝角三角形；() 试问,能否是等腰三角形？若能，求面积的最大值；若不能，请说明理由解：() 所以函数在上是单调减函数. () 证明:据题意且x1x2f (x2)f (x3), x2= 即是钝角三角形() 假设为等腰三角形，则只能是即 而事实上, 由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以不可能为等腰三角形.109.设函数f(x)=x3+ax2a2x+m(a0).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在x1，1内没有极值点，求a的取值范围；（3）若对任意的a3,6，不等式f(x)1在x2,2上恒成立，求m的取值范围解：（1）f(x)=3x2+2axa2=3(x)(x+a),又a0，当x时f(x)0；当ax时，f(x)3. （3）a3,6，由（）知1，2，a3 又x2,2f(x)max=maxf(2),f(2) 而f(2)f(2)=164a21， 对于任意的， 总存在，使得已知函数（）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（）当时，讨论在的单调性.解：（）由已知得 依题意：对恒成立即：对恒成立,也即：对恒成立 即（） 在定义域上满足在上是减函数，在是增函数当时， 在上是增函数当时， 在上是减函数 当时，在上是减函数，在上是增函数已知函数（1）当a=1时，证明函数只有一个零点；（2）若函数在区间（1，+）上是减函数，求实数a的取值范围解：（1）当a=1时，其定义域是，令，即，解得或x0，舍去 当时，；当时，函数在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减 当x=1时，函数取得最大值，其值为当时，即 函数只有一个零点（2）因为其定义域为，所以当a=0时，在区间上为增函数，不合题意当a0时，等价于，即此时的单调递减区间为依题意，得解之得 当a0)上的最小值；（2）对，不等式恒成立，求的取值范围。某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2a5 ）的税收。设每件产品的售价为x元(35x41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数