高三数学数列综合练习题答案与解析

高三数学数列综合练习题答案与解析一选择题（共23小题）1已知函数f（x）=，若数列an满足an=f（n）（nN*），且an是递增数列，则实数a的取值范围是（）A，4）B（，4）C（2，4）D（1，4）2已知an是递增数列，且对任意nN*都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是（）A（，+）B（0，+）C2，+）D（3，+）3已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a110，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A恒为正数B恒为负数C恒为0D可正可负4等比数列an中，a4=2，a7=5，则数列lgan的前10项和等于（）A2Blg50C10D55右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A2B4C6D86已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为（）ABCD7已知，把数列an的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）ABCD8设等差数列an满足=1，公差d（1，0），若当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A（，）B，C，D（，）9定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an），仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”现有定义在（），0）（0，+）上的如下函数：f（x）=3x，f（x）=，f（x）=x3，f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）ABCD10已知数列an（nN*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列lnf（an）为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”现有定义在（0，+）上的三个函数：f（x）=；f（x）=ex；f（x）=；f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）ABCD11已知数列an满足a1=1，an+1=，则an=（）AB3n2CDn212已知数列an满足a1=2，an+1an=an+1an，那么a31等于（）ABCD13如果数列an是等比数列，那么（）A数列是等比数列B数列2an是等比数列C数列lgan是等比数列D数列nan是等比数列14在数列an中，an+1=an+2，且a1=1，则=（）ABCD15等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）AA+C=2BBB2=ACC3（BA）=CDA2+B2=A（B+C）16已知数列an的通项为an=（1）n（4n3），则数列an的前50项和T50=（）A98B99C100D10117数列1，的前n项和为（）ABCD18数列an的通项公式为，其前n项和为sn，则s2017等于（）A1006B1008C1006D100819数列an中，则数列an前16项和等于（）A130B132C134D13620庄子天下篇中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”反映这个命题本质的式子是（）A1+=2B1+2C+=1D+121在数列an中，若=+，a1=8，则数列an的通项公式为（）Aan=2（n+1）2Ban=4（n+1）Can=8n2Dan=4n（n+1）22已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为Sn，则S10=（）A2101B291C45D5523设等差数列an满足，公差d（1，0），当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）AB，C（，）D，二解答题（共4小题）24已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4（1）求an的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和25已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a1=1，b1=1，a2+b2=2（1）若a3+b3=5，求bn的通项公式；（2）若T3=21，求S326设数列an满足a1+3a2+（2n1）an=2n（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和27已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5（）求an的通项公式；（）求和：b1+b3+b5+b2n1数列综合练习题答案与解析一选择题（共23小题）1已知函数f（x）=，若数列an满足an=f（n）（nN*），且an是递增数列，则实数a的取值范围是（）A，4）B（，4）C（2，4）D（1，4）【解答】解：函数f（x）=，数列an满足an=f（n）（nN*），且an是递增数列，解得2a4故选：C2已知an是递增数列，且对任意nN*都有an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是（）A（，+）B（0，+）C2，+）D（3，+）【解答】解：an是递增数列，an+1an，an=n2+n恒成立即（n+1）2+（n+1）n2+n，2n1对于nN*恒成立而2n1在n=1时取得最大值3，3，故选D3已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a110，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A恒为正数B恒为负数C恒为0D可正可负【解答】解：f（a11）f（0）=0，a9+a13=2a110，a9a13，f（a9）f（a13）=f（a13），f（a9）+f（a13）0，f（a9）+f（a11）+f（a13）0，故选：A4等比数列an中，a4=2，a7=5，则数列lgan的前10项和等于（）A2Blg50C10D5【解答】解：等比数列an中，a4=2，a7=5，a1a10=a2a9=a4a7=10，数列lgan的前10项和S=lga1+lga2+lga10=lga1a2a10=lg105=5故选：D5右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A2B4C6D8【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，a=3+3=6；故选C6已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为（）ABCD【解答】解：设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），因为aman=16a12，所（a1qm1）（a1qn1）=16a12，则qm+n2=16，解得m+n=6，+=（m+n）（+）=（17+）（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为故答案选：B7已知，把数列an的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）ABCD【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；每一行都有2n1个项，所以第10行有2101=19项，得到第10行第一个项为10019+1=82，所以第12项的项数为82+121=93；所以A（10，12）=a93=故选A8设等差数列an满足=1，公差d（1，0），若当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A（，）B，C，D（，）【解答】解：=sin（4d），sin（4d）=1，d（1，0），4d（4，0），4d=，d=，Sn=na1+=+，其对称轴方程为：n=，有题意可知当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，解得a1，故选：A9定义在（，0）（0，+）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列an，f（an），仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”现有定义在（），0）（0，+）上的如下函数：f（x）=3x，f（x）=，f（x）=x3，f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）ABCD【解答】解：不妨设等比数列an中，an=a1qn1，f（x）=3x，=常数，故当q1时，f（an）不是等比数列，故f（x）=3x不是等比函数；f（x）=，=，故f（an）是等比数列，故f（x）=是等比函数；f（x）=x3，=q3，故f（an）是等比数列，故f（x）=x3是等比函数；f（x）=log2|x|，=，故f（an）不是等比数列，故f（x）=log2|x|不是等比函数故其中是“等比函数”的f（x）的序号，故选：D10已知数列an（nN*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列lnf（an）为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”现有定义在（0，+）上的三个函数：f（x）=；f（x）=ex；f（x）=；f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）ABCD【解答】解：设数列an的公比为q（q1）由题意，lnf（an）=ln，lnf（an+1）lnf（an）=lnln=ln=lnq是常数，数列lnf（an）为等差数列，满足题意；由题意，lnf（an）=ln，lnf（an+1）lnf（an）=lnln=an+1an不是常数，数列lnf（an）不为等差数列，不满足题意；由题意，lnf（an）=ln，lnf（an+1）lnf（an）=lnln=lnq是常数，数列lnf（an）为等差数列，满足题意；由题意，lnf（an）=ln（2an），lnf（an+1）lnf（an）=ln（2an+1）ln（2an）=lnq是常数，数列lnf（an）为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为故选：C11已知数列an满足a1=1，an+1=，则an=（）AB3n2CDn2【解答】解：a1=1，an+1=，=+3，即=3，数列是以1为首项，3为公差的等差数列，=1+（n1）3=3n2，an=，故选：A12已知数列an满足a1=2，an+1an=an+1an，那么a31等于（）ABCD【解答】解：由已知可得=1，设bn=，则数列bn是以为首项，公差为1的等差数列b31=+（311）（1）=，a31=故选：B13如果数列an是等比数列，那么（）A数列是等比数列B数列2an是等比数列C数列lgan是等比数列D数列nan是等比数列【解答】解：对于A：设bn=，则=（）2=q2，bn成等比数列；正确；对于B：数列2，=2常数；不正确；对于C：当an0时lgan无意义；不正确；对于D：设cn=nan，则=常数不正确故选A14在数列an中，an+1=an+2，且a1=1，则=（）ABCD【解答】解：在数列an中，an+1=an+2，且a1=1，可得an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1，由=（），可得=（1+）=（1）=故选：A15等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）AA+C=2BBB2=ACC3（BA）=CDA2+B2=A（B+C）【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，BA，CB也成等差数列2（BA）=A+CB，解得3（BA）=C故选：C16已知数列an的通项为an=（1）n（4n3），则数列an的前50项和T50=（）A98B99C100D101【解答】解：数列an的通项为an=（1）n（4n3），前50项和T50=1+59+1317+197=（1+5）+（9+13）+（17+21）+（193+197）=4+4+4+4=425=100故选：C17数列1，的前n项和为（）ABCD【解答】解：=2（）数列1，的前n项和：数列1+=2（1+）=2（1）=故选：B18数列an的通项公式为，其前n项和为sn，则s2017等于（）A1006B1008C1006D1008【解答】解：，n=2k1（kN*）时，an=a2k1=（2k1）=0n=2k时，an=a2k=2kcosk=2k（1）ks2017=（a1+a3+a2017）+（a2+a4+a2016）=0+（2+42014+2016）=1008故选：B19数列an中，则数列an前16项和等于（）A130B132C134D136【解答】解：an+1+（1）n an=2n1，a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a16a15=29从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前16项和为 42+84+=136故选：D20庄子天下篇中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”反映这个命题本质的式子是（）A1+=2B1+2C+=1D+1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，+=11，故反映这个命题本质的式子是+1，故选：D21在数列an中，若=+，a1=8，则数列an的通项公式为（）Aan=2（n+1）2Ban=4（n+1）Can=8n2Dan=4n（n+1）【解答】解：=+，a1=8，则数列为等差数列=+（n1）=（n+1）an=2（n+1）2故选：A22已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为Sn，则S10=（）A2101B291C45D55【解答】解：当0x1时，有1x10，则f（x）=f（x1）+1=2x1，当1x2时，有0x11，则f（x）=f（x1）+1=2x2+1，当2x3时，有1x12，则f（x）=f（x1）+1=2x3+2，当3x4时，有2x13，则f（x）=f（x1）+1=2x4+3，以此类推，当nxn+1（其中nN）时，则f（x）=f（x1）+1=2xn1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点然后：将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x1和y=x的图象，取x0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）即当x0时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=0取中函数f（x）=2x1和y=x图象1x0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x1和y=x在0x1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）即当0x1时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=1取中函数f（x）=2x1和y=x在0x1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x2+1和y=x在1x2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）即当1x2时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=2以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3，（3，4，（n，n+1上的交点依次为（3，3），（4，4），（n+1，n+1）即方程f（x）x=0在（2，3，（3，4，（n，n+1上的根依次为3，4，n+1综上所述方程f（x）x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，其通项公式为：an=n1，前n项的和为 Sn=，S10=45，故选C23设等差数列an满足，公差d（1，0），当且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）AB，C（，）D，【解答】解：等差数列an满足，（sina4cosa7sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，sina4cosa7sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4a7）=1时，a4a7=3d（0，3），a4a7=2k+，kZ，3d=2k+，d=d=Sn=na1+=n2+（a1）n，且仅当n=9时，数列an的前n项和Sn取得最大值，8.59.5，a1故选：C二解答题（共4小题）24已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4（1）求an的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和【解答】解：（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q=3，bn=b2qn2=33n2=3n1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d=2，则an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）cn=an+b