2020版高考数学 3年高考2年模拟 第4章 三角函数

第四章第四章三角函数第一部分三角函数第一部分 三年高考荟萃三年高考荟萃 20202020 年高考题年高考题 一、选择题 1.（重庆理 6）若ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 22 ab4c（） ，且 C=60，则 ab 的值为 A 4 3 B8 4 3 C 1 D 2 3 【答案】A 2.（浙江理 6）若 0 2 ， 0 2 - ， 1 cos() 43 ， 3 cos() 423 ，则 cos() 2 A 3 3 B 3 3 C 5 3 9 D 6 9 【答案】C 3.（天津理 6）如图，在ABC中，D是边AC上的点，且 ,23,2ABCDABBD BCBD ，则sinC的值为 A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 【答案】D 4.（四川理 6）在ABC 中 222 sinsinsinsinsinABCBC 则 A 的取值范围是 A （0，6 B 6 ，） C （0，3 D 3 ，） 【答案】C 【解析】由题意正弦定理 222 222222 1 1cos0 23 bca abcbcbcabcAA bc 5.（山东理 6）若函数 ( )sinf xx (0)在区间 0, 3 上单调递增，在区间 , 3 2 上单调递减，则 = A3 B2 C 3 2 D 2 3 【答案】C 6.（山东理 9）函数 2sin 2 x yx 的图象大致是 【答案】C 7.（全国新课标理 5）已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直 线 2yx 上，则cos2= （A） 4 5 （B） 3 5 （C） 3 5 （D） 4 5 【答案】B 8.（全国大纲理 5）设函数 ( )cos(0)f xx ，将 ( )yf x 的图像向右平移3 个单位 长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 A 1 3 B3 C6 D9 【答案】C 9.（湖北理 3）已知函数 ( )3sincos ,f xxx xR ，若 ( )1f x ，则 x 的取值范围为 A |, 3 x kxkkZ B |22, 3 xkxkkZ C 5 |, 66 x kxkkZ D 5 |22, 66 xkxkkZ 【答案】B 10.（辽宁理 4）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB+bcos2A= a2 ，则 a b （A）2 3 （B）2 2 （C） 3 （D） 2 【答案】D 11.（辽宁理 7）设 sin 1 += 43 （） ，则sin2 （A） 7 9 （B） 1 9 （C） 1 9 （D） 7 9 【答案】A 12.（福建理 3）若 tan=3，则 2 sin2 cos a 的值等于 A2 B3 C4 D6 【答案】D 13.（全国新课标理 11）设函数 ( )sin()cos()f xxx (0,|) 2 的最小 正周期为，且 ()( )fxf x 则 （A） ( )yf x 在 (0,) 2 单调递减 （B） ( )yf x 在 3 (,) 44 单调递减 （C） ( )yf x 在 (0,) 2 单调递增 （D） ( )yf x 在 3 (,) 44 单调递增 【答案】A 14.（安徽理 9）已知函数 ( )sin(2)f xx ，其中为实数，若 ( )() 6 f xf 对 xR 恒成立，且 ()( ) 2 ff ，则 ( )f x 的单调递增区间是 （A） ,() 36 kkkZ （B） ,() 2 kkkZ （C） 2 ,() 63 kkkZ （D） ,() 2 kkkZ 【答案】C 二、填空题 15.（上海理 6）在相距 2 千米的AB两点处测量目标C，若 00 75 ,60CABCBA ，则AC两点之间的距离是 千米。 【答案】 6 16.（上海理 8）函数 sin()cos() 26 yxx 的最大值为 。 【答案】 23 4 17.（辽宁理 16）已知函数 )(xf =Atan（x+） （ 2 | , 0 ） ，y= )(xf 的部分图像如 下图，则 ) 24 ( f 【答案】 3 18.（全国新课标理 16） ABC 中， 60 ,3,BAC ，则 AB+2BC 的最大值为_ 【答案】2 7 19.（重庆理 14）已知 1 sincos 2 ，且 0, 2 ，则 cos2 sin 4 的值为 _ 【答案】 14 2 20.（福建理 14）如图，ABC 中，AB=AC=2，BC=2 3，点 D 在 BC 边上，ADC=45，则 AD 的长度等于_。 2 【答案】 21.（北京理 9）在 ABC 中。若 b=5， 4 B ，tanA=2，则 sinA=_；a=_。 【答案】 102 5 52 22.（全国大纲理 14）已知 a（2 ，） ，sin= 5 5 ，则 tan2= 【答案】 4 3 23.（安徽理 14）已知 ABC 的一个内角为 120o，并且三边长构成公差为 4 的 等差数列，则 ABC 的面积为_. 【答案】 315 24.（江苏 7）已知 , 2) 4 tan( x 则 x x 2tan tan 的值为_ 【答案】9 4 三、解答题 25.（江苏 9）函数 ,(),sin()(wAwxAxf 是常数， )0, 0wA 的部分图象如图 所示，则 f(0)= 【答案】 2 6 26.（北京理 15） 已知函数 ( )4cos sin() 1 6 f xxx 。 （）求 ( )f x 的最小正周期： （）求 ( )f x 在区间 , 6 4 上的最大值和最小值。 解：（）因为 1) 6 sin(cos4)( xxxf 1)cos 2 1 sin 2 3 (cos4xxx 1cos22sin3 2 xx xx2cos2sin3 ) 6 2sin(2 x 所以 )(xf 的最小正周期为 （）因为 . 3 2 6 2 6 , 46 xx所以 于是，当 6 , 26 2 xx即 时， )(xf 取得最大值 2； 当 )(, 6 , 66 2xfxx时即 取得最小值1. 27.（江苏 15）在ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为 cba, （1）若 ,cos2) 6 sin(AA 求 A 的值； （2）若 cbA3, 3 1 cos ，求 Csin 的值. 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能 力。 解：（1）由题设知 0cos,cos3sin,cos2 6 sincos 6 cossinAAAAAA所以从而 ， . 3 ,0, 3tan AaA所以因为 （2）由 .,cos23, 3 1 cos 222222 cbaAbccbacbA得及 故ABC 是直角三角形，且 3 1 cossin, 2 ACB所以 . 28.（安徽理 18） 在数 1 和 100 之间插入n个实数，使得这 2n 个数构成递增的等比数列，将这 2n 个 数的乘积记作 n T ，再令 , lg nn aT 1n . （）求数列 n a 的通项公式； （）设 1 tantan, nnn baa A 求数列 n b 的前n项和 n S . 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考 查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I）设 221 , n lll 构成等比数列，其中 ,100, 1 21 n tt 则 , 2121 nnn ttttT , 1221 ttttT nnn 并利用 得),21 (102 2131 nitttt nin . 1 , 2lg,10)()()()( )2(2 12211221 2 nnTattttttttT nn n nnnnn （II）由题意和（I）中计算结果，知 . 1),3tan()2tan(nnnbn 另一方面，利用 , tan) 1tan(1 tan) 1tan( ) 1tan(1tan kk kk kk 得 . 1 1tan tan) 1tan( tan) 1tan( kk kk 所以 2 31 tan) 1tan( n k n k kn kkbS . 1tan 3tan)3tan( ) 1 1tan tan) 1tan( ( 2 3 n n kk n k 29 （福建理 16） 已知等比数列an的公比 q=3，前 3 项和 S3= 13 3 。 （I）求数列an的通项公式； （II）若函数 ( )sin(2)(0,0)f xAxAp 在 6 x 处取得最大值，且最大 值为 a3，求函数 f（x）的解析式。 本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思 想，满分 13 分。 解：（I）由 3 1 3 (1 3 )1313 3, 31 33 a qS 得 解得 1 1 . 3 a 所以 12 1 33. 3 nn n a （II）由（I）可知 2 3 3,3. n n aa 所以 因为函数 ( )f x 的最大值为 3，所以 A=3。 因为当 6 x 时 ( )f x 取得最大值， 所以 sin(2)1. 6 又 0,. 6 故 所以函数 ( )f x 的解析式为 ( )3sin(2) 6 f xx 30.（广东理 16） 已知函数 1 ( )2sin(),. 36 f xxxR （1）求 5 () 4 f 的值； （2）设 106 ,0,(3),(32 ), 22135 faf 求cos( ) 的值 解：（1） 515 ()2sin() 4346 f 2sin2 4 ； （2） 101 32sin32sin, 132326 f 61 (32 )2sin(32 )2sin2cos, 5362 f 53 sin,cos, 135 2 2 512 cos1sin1, 1313 2 2 34 sin1cos1, 55 故 3125456 cos()coscossinsin. 51313565 31.（湖北理 16） 设 ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c，已知 1 1.2.cos. 4 abC （）求 ABC 的周长 （）求 cos AC 的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。 （满分 10 分） 解：（） 222 1 2cos1444 4 cababC 2.c ABC 的周长为 1225.abc （） 22 1115 cos,sin1cos1( ). 444 CCC 15 sin15 4 sin 28 aC A c ,acAC ，故 A 为锐角， 22 157 cos1sin1(). 88 AA 71151511 cos()coscossinsin. 848816 ACACAC 32.（湖南理 17） 在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC （）求角 C 的大小； （）求 3 sinA-cos（B+4 ）的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小。 解析：（I）由正弦定理得sin sinsincos .CAAC 因为0 ,A 所以 sin0.sincos.cos0,tan1, 4 ACCCCC 从而又所以则 （II）由（I）知 3 . 4 BA 于是 3sincos()3sincos() 4 3sincos2sin(). 6 311 0, 46612623 ABAA AAA AAAA 从而当即时 2sin() 6 A 取最大值 2 综上所述， 3sincos() 4 AB 的最大值为 2，此时 5 ,. 312 AB 33.（全国大纲理 17） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c己知 AC=90，a+c= 2b，求 C 解：由 2acb 及正弦定理可得 sin sin2sin .ACB 3 分 又由于 90 ,180(),ACBAC 故 cos sin2sin()CCAC 2sin(902 )C 2cos2 .C 7 分 22 cossincos2 , 22 CCC cos(45 )cos2 .CC 因为0 90C， 所以2 45,CC 15C 34.（山东理 17） 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 cosA-2cosC2c-a = cosBb （I）求 sin sin C A的值； （II）若 cosB= 1 4，b=2，ABC 的面积 S。 解： （I）由正弦定理，设 , sinsinsin abc k ABC 则 22 sinsin2sinsin , sinsin cakCkACA bkBB 所以 cos2cos2sinsin . cossin ACCA BB 即(cos 2cos)sin(2sinsin)cosACBCAB ， 化简可得sin( )2sin().ABBC 又A BC ， 所以sin 2sinCA 因此 sin 2. sin C A （II）由 sin 2 sin C A 得 2 .ca 由余弦定理 222 222 1 2coscos,2, 4 1 44. 4 bacacBBb aa 及 得4=a 解得 a=1。 因此 c=2 又因为 1 cos,. 4 BGB且 所以 15 sin. 4 B 因此 111515 sin1 2. 2244 SacB 35.（陕西理 18） 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余 弦之积的两倍。或：在ABC 中，a,b,c 为 A,B,C 的对边，有 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 证法一 如图 2 aBCBC () ()ACABACAB 22 2ACACABAB 22 2cosbbcAc 即 222 2cosabcbcA 同理可证 222 2cosbacacB 22 2ACACAB COSAAB 222 2coscababC 证法二 已知ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立 直角坐标系，则 ( cos, sin),( ,0)C bA bA B c , 2222 ( cos)( sin)aBCbAcbA 22222 cos2cossinbAbcAcbA 222 2cosbacacB 同理可证 222 222 2cos , 2cos . bcacaB cababC 36.（四川理 17） 已知函数 73 ( )sin()cos(), 44 f xxxxR （1）求 ( )f x 的最小正周期和最小值； （2）已知 44 cos(),cos(),(0) 552 a ，求证： 2 ( )20f 解析： 7733 ( )sin coscos sincos cossin sin 4444 2sin2cos 2sin() 4 f xxxxx xx x max 2 ,( )2Tf x （2） 4 cos()coscossinsin(1) 5 4 cos()coscossinsin(2) 5 coscos0 0cos0 22 2 ( )2( ( )20ff 37.（天津理 15） 已知函数 ( )tan(2), 4 f xx （）求 ( )f x 的定义域与最小正周期； （II）设 0, 4 ，若 ()2cos2 , 2 f 求的大小 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正 弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分 13 分. （I）解：由 2, 42 xkkZ ， 得 , 82 k xkZ . 所以 ( )f x 的定义域为 |, 82 k xR xkZ ( )f x 的最小正周期为 . 2 （II）解：由 ( )2cos2 , 2 a fa 得 tan()2cos2 , 4 aa 22 sin() 4 2(cossin), cos() 4 a aa a 整理得 sincos 2(cossin )(cossin ). cossin aa aaaa aa 因为 (0,) 4 a ，所以sin cos0.aa 因此 2 11 (cossin ),sin2. 22 aaa即 由 (0,) 4 a ，得 2(0,) 2 a . 所以 2,. 612 aa 即 38.（浙江理 18）在 ABC 中，角 . .ABC所对的边分别为 a,b,c 已知 sinsinsin,ACpB pR 且 2 1 4 acb （）当 5 ,1 4 pb 时，求 , a c 的值； （）若角B为锐角，求 p 的取值范围； 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。 满分 14 分。 （I）解：由题设并利用正弦定理，得 5 , 4 1 , 4 ac ac 解得 1,1 , 41 , 1. 4 a a c c 或 （II）解：由余弦定理， 222 2cosbacacB 2 2222 2 ()22cos 11 cos , 22 31 cos , 22 acacacB p bbbB pB 即 因为 2 3 0cos1,( ,2) 2 Bp得 ， 由题设知 6 0,2. 2 pp所以 39.（重庆理 16） 设a R ， 2 cossincoscos 2 f xx axxx 满足 0 3 ff ，求函数 ( )f x 在 11 , 424 上的最大值和最小值. 解： 22 ( )sin coscossinf xaxxxx sin2cos2 . 2 a xx 由 31 ()(0)1,2 3. 3222 a ffa 得解得 因此 ( )3sin2cos22sin(2). 6 f xxxx 当 ,2,( ) 4 363 2 xxf x 时 为增函数， 当 113 ,2,( ) 324624 xxf x 时 为减函数， 所以 11 ( ),()2. 443 f xf 在上的最大值为 又因为 11 ()3,()2, 424 ff 故 11 ( ), 424 f x 在 上的最小值为 11 ()2. 24 f 20202020 年高考题年高考题 一、选择题 1.1.（20202020 浙江理）浙江理） （9）设函数( )4sin(21)f xxx，则在下列区间中函数( )f x不存在 零点的是 （A）4, 2 （B）2,0 （C）0,2 （D）2,4 答案 A 解析：将 xf的零点转化为函数 xxhxxg与12sin4的交点，数形结合可知答 案选 A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化 思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题 2.2.（20202020 浙江理）浙江理） （4）设0 2 x ，则“ 2 sin1xx”是“sin1xx”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 答案 B 解析：因为 0x 2 ，所以 sinx1，故 xsin2xxsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范 围相同，可知答案选 B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转 化思想和处理不等关系的能力，属中档题 3.3.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文） （3）已知 2 sin 3 ，则cos(2 )x （A） 5 3 （B） 1 9 （C） 1 9 （D） 5 3 【解析解析】B】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，：本题考查了二倍角公式及诱导公式， SINA=2/3SINA=2/3， 2 1 cos(2 )cos2(1 2sin) 9 4.4.（20202020 福建文）福建文）计算1 2sin22.5 的结果等于( ) A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 【答案】B 【解析】原式= 2 cos45 = 2 ,故选 B 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 5.5.（20202020 全国卷全国卷 1 1 文）文） (1)cos300 (A) 3 2 (B)- 1 2 (C) 1 2 (D) 3 2 【答案】 C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 1 cos300cos 36060cos60 2 6.6.（20202020 全国卷全国卷 1 1 理）理）(2)记cos( 80 )k ,那么tan100 A. 2 1k k B. - 2 1k k C. 2 1 k k D. - 2 1 k k 7.7.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （7）为了得到函数sin(2) 3 yx 的图像，只需把函数 sin(2) 6 yx 的图像 （A）向左平移 4 个长度单位 （B）向右平移 4 个长度单位 （C）向左平移 2 个长度单位 （D）向右平移 2 个长度单位 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【解析】sin(2) 6 yx =sin2() 12 x ，sin(2) 3 yx =sin2() 6 x ，所以将 sin(2) 6 yx 的图像向右平移 4 个长度单位得到sin(2) 3 yx 的图像，故选 B. 8.8.（20202020 陕西文）陕西文）3.函数f (x)=2sinxcosx是 (A)最小正周期为 2 的奇函数（B）最小正周期为 2 的偶函数 (C)最小正周期为 的奇函数（D）最小正周期为 的偶函数 【答案】C 解析：本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为 的奇函数 9.9.（20202020 辽宁文）辽宁文） （6）设0,函数sin()2 3 yx 的图像向右平移 4 3 个单位后 与原图像重合，则的最小值是 （A） 2 3 （B） 4 3 （C） 3 2 （D） 3 【答案】 C 解析：选 C.由已知，周期 243 ,. 32 T 10.10.（20202020 辽宁理）辽宁理） （5）设0,函数 y=sin(x+ 3 )+2 的图像向右平移 3 4 个单位后与 原图像重合，则的最小值是 （A） 2 3 (B) 4 3 (C) 3 2 (D)3 【答案】C 【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对 知识灵活掌握的程度。 【解析】将 y=sin(x+ 3 )+2 的图像向右平移 3 4 个单位后为 4 sin ()2 33 yx 4 sin()2 33 x ，所以有 4 3 =2k,即 3 2 k ， 又因为0，所以 k1,故 3 2 k 3 2 ，所以选 C 11.（2020 重庆文） （6）下列函数中，周期为，且在, 4 2 上为减函数的是 （A）sin(2) 2 yx （B）cos(2) 2 yx （C）sin() 2 yx （D）cos() 2 yx 【答案】 A 解析：C、D 中函数周期为 2，所以错误 当, 4 2 x 时， 3 2, 22 x ，函数sin(2) 2 yx 为减函数 而函数cos(2) 2 yx 为增函数，所以选 A 12.12.（20202020 重庆理）重庆理） （6）已知函数 sin(0,) 2 yx 的部分图 象如题（6）图所示，则 A. =1 = 6 B. =1 =- 6 C. =2 = 6 D. =2 = -6 解析： 2T 由五点作图法知 23 2 ，= -6 13.13.（20202020 山东文）山东文） （10）观察 2 ()2xx ， 43 ()4xx ， (cos )sinxx ，由归纳推理 可得：若定义在R上的函数 ( )f x 满足 ()( )fxf x ，记 ( )g x 为 ( )f x 的导函数，则 ()gx = （A）( )f x (B)( )f x (C) ( )g x (D)( )g x 【答案】D 14.14.（20202020 四川理）四川理） （6）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 （A）sin(2) 10 yx （B）sin(2) 5 yx （C） 1 sin() 210 yx （D） 1 sin() 220 yx 解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，所得函数图象的 解析式为ysin(x 10 ) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 1 sin() 210 yx . 【答案】C 15.15.（20202020 天津文）天津文） 5 yAsinxxR 66 右图是函数（+ ）（）在区间-，上的图象，为了得到这个 函数的图象，只要将ysinxxR（）的图象上所有的点 (A)向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短 到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 (D) 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。 由图像可知函数的周期为，振幅为 1，所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+).代入（- 6 ，0）可得的一个值为 3 ，故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ 3 )，即 y=sin2(x+ 6 )，所以只需将 y=sinx（xR）的图像上所有的点向左平移 6 个单位长度， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变。 【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求。三角函数图 像进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 1 16.16.（20202020 福建文）福建文） 17.17.（20202020 四川文）四川文） （7）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 （A）sin(2) 10 yx （B）y sin(2) 5 x （C）y 1 sin() 210 x （D） 1 sin() 220 yx 【答案】C 解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，所得函数图象的 解 析式为ysin(x 10 ) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所 得图像的函数解析式是 1 sin() 210 yx . 18.18.（20202020 湖北文）湖北文）2.函数 f(x)= 3sin(), 24 x xR 的最小正周期为 A. 2 B.xC.2D.4 【答案】D 【解析】由 T=| 2 1 2 |=4，故 D 正确. 19.19.（20202020 福建理）福建理）1cos13 计算si n43cos43 -si n13的值等于（ ） A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【答案】A 【解析】原式= 1 sin(43 -13 )=sin30 = 2 ，故选 A。 【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基 础知识，属保分题。 二、填空题二、填空题 20.20.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （13）已知a是第二象限的角， 4 tan(2 ) 3 a ，则tana 【答案】 1 2 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考 生的计算能力. 【解析】由 4 tan(2 ) 3 a 得 4 tan2 3 a ，又 2 2tan4 tan2 1tan3 a ，解得 1 tantan2 2 或，又a是第二象限的角，所以 1 tan 2 . 21.21.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文） （13）已知 是第二象限的角,tan=1/2，则 cos=_ 【解析】 2 5 5 ：本题考查了同角三角函数的基础知识 1 tan 2 ， 2 5 cos 5 22.22.（20202020 全国卷全国卷 1 1 文）文）(14)已知为第二象限的角， 3 sin 5 a ,则 tan2 . 答案 24 7 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公 式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为为第二象限的角,又 3 sin 5 , 所以 4 cos 5 ， sin3 tan cos4 , 所 2 2tan24 tan(2 ) 1tan7 23.23.（20202020 全国卷全国卷 1 1 理）理）(14)已知为第三象限的角， 3 cos2 5 ,则 tan(2 ) 4 . 24.24.（20202020 浙江理）浙江理） （11）函数 2 ( )sin(2)2 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 _ . 解析： 2 4 2sin 2 2 xxf故最小正周期为 ，本题主要考察了三角恒等变换 及相关公式，属中档题 25.25.（20202020 浙江文）浙江文） （12）函数 2 ( )sin (2) 4 f xx 的最小正周期是 。 答案 2 26.26.（20202020 福建文）福建文）16.16.观察下列等式： cos2a=2 2 cos a-1; cos4a=8 4 cos a- 8 2 cos a+ 1; cos6a=32 6 cos a- 48 4 cos a+ 18 2 cos a- 1; cos8a=128 8 cos a- 256 6 cos a+ 160 4 cos a- 32 2 cos a+ 1; cos10a= m 10 cos a- 1280 8 cos a+ 1120 6 cos a+ n 4 cos a+ p 2 cos a- 1 可以推测，m n + p = 【答案】962 【解析】因为 1 22 , 3 82 , 5 322 , 7 1282 ,所以 9 2512m ；观察可得400n ， 50p ，所以 m n + p =962。 【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。 27.27.（20202020 山东理）山东理） 28.28.（20202020 福建理）福建理）14已知函数f(x)=3sin( x-)( 0) 6 和g(x)=2cos(2x+ )+1的图 象的对称轴完全相同。若x0, 2 ，则f(x)的取值范围是 。 【答案】 3 -,3 2 【解析】由题意知，2，因为x0, 2 ，所以 5 2x-, 666 ，由三角函数图象 知： f(x)的最小值为 3 3sin(-)=- 62 ，最大值为3sin=3 2 ，所以f(x)的取值范围是 3 -,3 2 。 29.29.（20202020 江苏卷）江苏卷）10、定义在区间 2 0 ,上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的 交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2的 长为_。 解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2的长即为 sinx 的值， 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx= 2 3 。线段 P1P2的长为 2 3 三、解答题三、解答题 30.30.（20202020 上海文）上海文）19.19.（本题满分（本题满分 1212 分）分） 已知0 2 x ，化简： 2 lg(costan1 2sin)lg 2cos()lg(1 sin2 ) 22 x xxxx . 解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20 31.31.（20202020 全国卷全国卷 2 2 理）理） （17） （本小题满分 10 分） ABC中，D为边BC上的一点，33BD ， 5 sin 13 B ， 3 cos 5 ADC，求AD 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中 的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】 由 cosADC=0，知 B. 由已知得 cosB=，sinADC=. 从而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=. 由正弦定理得 ，所以=. 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出 现.这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保 留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求 边角或将边角互化. 32.32.（20202020 全国卷全国卷 2 2 文）文） （17） （本小题满分 10 分） ABCA中，D为边BC上的一点，33BD ， 5 sin 13 B ， 3 cos 5 ADC，求 AD。 【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ADC 与 B 的差求出 BAD ，根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦，在三角 形 ABD 中，由正弦定理可求得 AD。 33.33.（20202020 四川理）四川理） （19） （本小题满分 12 分） （）证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsin ； 1 由C 推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossin . 2 （）已知ABC的面积 1 ,3 2 SABAC ，且 3 5 cosB ，求cosC. 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及 运算能力。 解：(1)如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角、与，使角的始 边为Ox，交O于点P1，终边交O于P2；角的始边为OP2，终边交O于P3；角 的始边为OP1，终边交O于P4. 则P1(1,0),P2(cos,sin) P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin() 由P1P3P2P4及两点间的距离公 式，得 cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2 展开并整理得：22cos()22(coscossinsin) cos()coscossinsin.4 分 由易得cos( 2 )sin,sin( 2 )cos sin()cos 2 ()cos( 2 )() cos( 2 )cos()sin( 2 )sin() sincoscossin6 分 (2)由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S 1 2 bcsinA 1 2 ABAC bccosA30 A(0, 2 ),cosA3sinA 又sin2Acos2A1，sinA 10 10 ,cosA 3 10 10 由题意，cosB 3 5 ,得sinB 4 5 cos(AB)cosAcosBsinAsinB 10 10 故cosCcos(AB)cos(AB) 10 10 12 分 34.34.（20202020 天津文）天津文） （17） （本小题满分 12 分） 在ABC 中， cos cos ACB ABC 。 （）证明 B=C： （）若cos A=- 1 3 ，求 sin4B 3 的值。 【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦