2020高考数学二轮专题复习 平面向量

平面向量 【考纲解读考纲解读】 1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与 数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何 意义. 2了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量 共线的条件. 3理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投 影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量 积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【考点预测考点预测】 高考对平面向量的考点分为以下两类: (1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、 共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中 或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一 般以选择题形式出现，难度不大. (2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内 容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式 出现，综合性较强. 【要点梳理要点梳理】 1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加 法的运算律; 2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义； 3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示； 4.两个向量夹角的范围是:0, ; 5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充 要条件. 【考点在线考点在线】 考点一考点一 向量概念及运算向量概念及运算 例例 1.1.(2020 年高考山东卷理科 12)设 1 A， 2 A， 3 A， 4 A是平面直角坐标系中两两 不同的四点，若 1312 A AA A (R)， 1412 A AA A (R)，且 11 2 ,则 称 3 A， 4 A调和分割 1 A， 2 A ,已知点 C(c，o),D(d，O) (c，dR)调和分割点 A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( ) (A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C，D 可能同时在线段 AB 上 (D) C，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案答案】D 考点二考点二 平面向量的数量积平面向量的数量积 例例 2.2.（2020 年高考海南卷文科 13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若 向量ab 与向量kab 垂直,则k . 【答案答案】1 【解析解析】由题意知() ()0abkab ,即(1)10kkab ,所以(1)1kabk , 因为a 与b 不共线,所以10k ,即 k=1. 【名师点睛名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积. 【备考提示备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键. 练习练习 2:2: (2020(2020 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 14)14)已知向量a a，b b满足（a a+2b b）（a a-b b） =6，且a ， 2b ，则a a与b b的夹角为 . 【答案答案】3 【解析解析】 26abab ，则 22 26aa bb ，即 22 12 26a b ， 1a b ，所以 1 cos, 2 a b a b ab ，所以 , 3 a b . 考点三考点三 向量与三角函数等知识的综合向量与三角函数等知识的综合 例例 3.3. （20202020 年高考江苏卷第年高考江苏卷第 1515 题）题） 设向量(4cos ,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin)abc （1）若a 与2bc 垂直，求tan()的值； （2）求|bc 的最大值; （3）若tantan16，求证：a b . 【解析解析】 【名师点睛名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关 系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力. 【备考提示备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键. 练习练习 3:3: （20202020 年高考广东卷年高考广东卷 A A 文科第文科第 1616 题）题） 已知向量)2,(sina与)cos, 1 (b互相垂直，其中) 2 , 0( （1）求sin和cos的值（2）若cos53)cos(5，0 2 ,求cos的 值 【解析】 （）ab v v Q,sin2cos0a b v vg ,即sin2cos 又 2 sincos1 , 22 4coscos1 ,即 2 1 cos 5 , 2 4 sin 5 又 2 5 (0,)sin 25 , 5 cos 5 (2) 5cos()5(coscossinsin )5cos2 5sin3 5cos cossin , 222 cossin1 cos ,即 2 1 cos 2 又 0 2 , 2 cos 2 w 【易错专区易错专区】 1.（20202020 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 3)3)设向量a b 、满足|a |=|b |=1, a b 1 = 2 ,则 2ab ( ) （A）2 （B） 3 （C） 5 （D）7 【答案】B 【解析】 222 2(2 )44ababaa bb 22 44aa bb 1 14 ()4 13 2 故选 B 2.（20202020 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 3)3)已知向量 a a=（2,1） ，b b=（-1，k） ，a a（2a a-b b） =0，则 k=（ ） （A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12 【答案】D 【解析】由题意，得 2a a-b b =（5，2-k） ，a a（2a a-b b）=25+2-k=0，所以 k=12. 3. （20202020 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 7)7)如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF =( ) (A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 【答案】D 【解析】BACDEFDECDEFCDDEEFCF . 4 （ 20202020 年高考全国年高考全国卷文科卷文科 1111）已知圆O的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条 切线，A、B 为两切点，那么PA PB 的最小值为( ) (A) 42 (B) 32 (C) 42 2 (D) 32 2 【答案】D 【解析】如图所示：设 PA=PB=x(0)x ,APO=,则APB=2，PO= 2 1x， 2 1 sin 1x ， | |cos2PA PBPAPB = 22 (1 2sin)x= 22 2 (1) 1 xx x = 42 2 1 xx x ，令PA PBy ， 则 42 2 1 xx y x ，即 42 (1)0 xy xy，由 2 x是实数，所以 2 (1)4 1 ()0yy ， 2 610yy ，解得32 2y 或32 2y . 故 min ()32 2PA PB .此时21x . 5 （20202020 年高考全国卷年高考全国卷文科文科 1010）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB， 若CB = a , CA = b , a= 1 ，b= 2, 则CD =( ) （A） 1 3 a + 2 3 b （B） 2 3 a + 1 3 b （C） 3 5 a + 4 5 b （D） 4 5 a + 3 5 b 【答案答案】B 【解析解析】 CD 为角平分线， 1 2 BDBC ADAC ， ABCBCAab ， 222 333 ADABab ， 2221 3333 CDCAADbabab 6 （20202020 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 6 6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， 2 16BC ， ABACABAC ，则AM ( ) （A）8 （B）4 （C）2 （D）1 【答案答案】C 【解析解析】由 2 BC 16，得|BC|4, ABACABACBC 4 而 ABACAM ,故 AM 2. 7 （20202020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 11)11)已知两个单位向量 1 e， 2 e的夹角为 3 ，若向量 112 2bee， 212 34bee，则 12 b b=_. 【答案】-6 【解析】要求 1 b* 2 b，只需将题目已知条件带入，得： 1 b* 2 b=（ 1 e-2 2 e ） *（3 1 e +4 2 e ）= 2 221 2 1 823 eeee,其中 2 1 e=1， 21 ee= 60cos 21 ee=1*1* 2 1 = 2 1 ，1 2 2 e，带入，原式=3*12* 2 1 8*1=6. 8. （20202020 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 13)13)若向量 a=（1,1） ，b（-1,2） ，则 ab 等于 _. 【答案】1 【解析】因为向量 a=（1,1） ，b（-1,2） ，所以 ab 等于 1. 9 （20202020 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 13)13)设向量, a b 满足| 2 5,(2,1),ab 且ab 与的方向 相反，则a 的坐标为 【答案】( 4, 2) 【解析】由题 2 |215b ，所以2( 4, 2).ab 10.10.（20202020 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 15)15)若平面向量 、 满足1,1，且以向 量 、 为邻边的平行四边形的面积为 1 2 ，则 和 的夹角 取值范围是 . 【答案】 5 , 66 a b 1212 (2)()eekee 2 2 1122 (1 2 )2kek e ee 2 (1 2 )cos2 3 kk 0,解得 5 4 k . 【高考冲策演练高考冲策演练】 一、选择题：一、选择题： 1.（20202020 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 1212）定义平面向量之间的一种运算“A”如下：对 任意的( , )am n，( , )bp q，令abmqnpA，下面说法错误的是( ) (A)若 a 与 b 共线，则0ab A (B)abbaAA (C)对任意的R，有()()ababAA (D) 2222 ()()| |aba babA 【答案】B 【解析】若a 与b 共线，则有ab=mq-np=0 A，故 A 正确；因为bapn-qm A，而 ab=mq-np A，所以有abba AA，故选项 B 错误，故选 B。 2 （20202020 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 9 9）如图，在 ABC 中，ADAB，3BC BD ， 1AD ，则AC AD =( ) （A）2 3 （B） 3 2 （C） 3 3 （D） 3 【答案】D 【解析】 AC AD A=| |cosACADDAC |cosACDAC |sinACBAC |sinBCB 3 |sinBDB = 3 ，故选 D。 3 3 （20202020 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 8 8）若向量(x,3)(x)aR ，则“x4”是 “| 5a ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】由x4得a(4,3) ，所以| 5a ；反之，由| 5a 可得x4 。 4 （20202020 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 1111）若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左 焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP A的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】C 【解析】由题意，F（-1，0） ，设点 P 00 (,)xy，则有 22 00 1 43 xy ,解得 2 2 0 0 3(1) 4 x y， 因为 00 (1,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (1)OP FPx xy = 00 (1)OP FPx x 2 0 3(1) 4 x = 2 0 0 3 4 x x ，此二次函数对应的抛物线的对称轴 为 0 2x ，因为 0 22x ，所以当 0 2x 时，OP FP 取得最大值 2 2 236 4 ， 选 C。 5 5 （20202020 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 6 6）a、b 为非零向量。 “ab ”是“函数 ( )() ()f xxabxba A为一次函数”的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若ab ，则有 22 ( )() ()(| )f xxabxbax ab A不一定是一次函数 （当| |ab 时不是一次函数） ；反之，成立，故选 B。 6 6(2020(2020 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 3)3)设向量(1,0)a , 1 1 ( , ) 2 2 b ,则下列结论中正确的是 ( ) (A) ab (B) 2 2 a b A (C)/ /ab (D)ab与b垂直 【答案】D 【解析】 11 ( ,) 22 ab =，()0ab bA，所以ab与b垂直. 7 7 （20202020 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 8 8）平面上, ,O A B三点不共线，设,OAa OBb ,则 OAB的面积等于 ( ) （A） 22 2 ()aba b （B） 22 2 ()aba b （C） 22 2 1 () 2 aba b （D） 22 2 1 () 2 aba b 【答案】C 【解析】 2 2 22 111() |sin,| 1cos,| 1 222| | OAB a b Sa ba ba ba ba b ab 22 2 1 () 2 aba b 8.(20208.(2020 年高考宁夏卷文科年高考宁夏卷文科 2)2)a，b 为平面向量，已知 a=（4，3） ， 2a+b=（3，18） ，则 a，b 夹角的余弦值等于( ) （A） 8 65 （B） 8 65 （C） 16 65 （D） 16 65 【答案】C 解析解析：由已知得(3,18)2(3,18)(8,6)( 5,12)ba ，所以cos, a b a b a b 4 ( 5)3 1216 5 1365 9 9 （20202020 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 5 5）若向量a =（1,1） ，b =（2,5） ，c =(3,x)满足条 件 (8a 【解析】60a bmA，所以m=6. 11 （20202020 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 8 8）已知ABC和点 M 满足0MAMBMC .若存 在实m使得 AMACmAM 成立，则m=( ) A.2B.3C.4D.5 【答案】B 【解析】由0MAMBMC uuu ruuu ruuu rr 知，点 M 为ABCV的重心，设点 D 为底边 BC 的中 点，则 2 AM=AD= 3 21 ( 32 )ABAC uu u ruuu r = 1 () 3 ABAC uu u ruuu r ，所以有3ABACAM uu u ruuu ruuur ，故m=3， 选 B。 12 （20202020 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 6 6）若非零向量 a，b 满足| |,(2)0ababb，则 a 与 b 的夹角为( ) A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500 【答案】C 二、填空题：二、填空题： 13(2020(2020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 13)13)已知向量a ，b 满足2b ，a 与b 的夹角为 60，则b 在a 上的投影是 【答案】1 【解析】 0 1 |cos6021 2 b 14. (2020(2020 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 13)13)已知平面向量,1,2,(2 ), 则 2a的值是 。 【答案】 10 16 （20202020 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 1111）已知向量2 , 1, 1,1, 2cmba，若 ba c，则_m. 【答案】-1 【解析】2 , 1,1, 1cmba，由ba c得 101121mm. 三解答题：三解答题： 17 （20202020 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 1515） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(OCtAB)OC=0，求 t 的值。 【解析】 （1） （方法一）（方法一）由题设知(3,5),( 1,1)ABAC ，则 (2,6),(4,4).ABACABAC 所以| 2 10,| 4 2.ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2、 2 10. （方法二）（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则: E 为 B、C 的中点，E（0，1） 又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2、AD=2 10； （2）由题设知：OC =(2,1)，(32 ,5)ABtOCtt 。 由(OCtAB)OC=0，得：(32 ,5) ( 2, 1)0tt ， 从而511,t 所以 11 5 t 。 或者： 2 AB OCtOC ，(3,5),AB 2 11 5| AB OC t OC 18 （20202020 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 1818）设平顶向量 m a （ m , 1）, n b= ( 2 , n )， 其中 m， n 1,2,3,4. （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果； （II）记“使得 m a（ m a- n b）成立的（ m，n ） ”为事件 A，求事件 A 发生 的概率。 19 （20202020 年高考湖北卷理科第年高考湖北卷理科第 1717 题）题） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上（注意：在试题卷上 作答无效）作答无效） 已知向量(cos ,sin ),(cos,sin),( 1,0)aaa bc （）求向量bc的长度的最大值； （）设a 4 ，且()abc，求cos的值。 【解析】 （1）解法 1：(cos1,sin ),bc =则 222 |(cos1)sin2(1 cos ).bc 2 1cos1,0 |4 bc，即0 | 2.bc w.w.w.c.o.m 解法 2：若 4 ，则 22 (,) 22 a ，又由(cos,sin)b，( 1,0)c 得 22222 ()(,) (cos1,sin)cossin 22222 abc a (b+c)，()0abc ，即cos(cos1)0 sin1cos ，平方后化简得cos(cos1)0 w 解得cos0或cos1 ，经检验，cos0cos1或即为所求 20. ( (山东省烟台市山东省烟台市 20202020 年年 1 1 月月“十一五十一五”课题调研卷理科课题调研卷理科) ) 如图，平