安徽省黄山市2020届高三数学第二次质量检测试题 理（含解析）

黄山市2020届高中毕业班第二次质量检测数学（理科）试题参考公式：如果事件互斥，那么；如果事件相互独立，那么；如果随机变量，则第卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卷的相应区域答题.）1.已知复数z满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化为的形式，由此确定所在象限.【详解】依题意，对应点在第一象限，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在的象限，属于基础题.2.已知，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的值，然后利用，展开后计算得出正确选项.【详解】由于， 所以.故 ，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.3.已知,则展开式中项的系数为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先利用定积分求得，然后利用二项式展开式，求得所求的系数.【详解】依题意.二项式展开式中，还有的项为，故所求系数为，故选D.【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的中指定项的系数，属于基础题.4.已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线渐近线的斜率，求得直线斜率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；当直线斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查直线和双曲线交点问题，属于基础题.5.已知向量满足，且，则在方向上的投影为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据得到两个向量数量积为零，由此列方程求得，再根据投影的计算公式求得投影的值.【详解】由于，故，即.故在方向上的投影为.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的数量积表示，考查投影的计算，属于基础题.6.已知部分图象如图，则的一个对称中心是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数对称中心的对称性列等式，由此求得的一个对称中心.【详解】由图可知是的一个对称中心，是函数的最高点.设的一个对称中心为，根据图像的对称性得，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，且，为AD的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出异面直线所成的角，利用余弦定理计算出这个角的余弦值.【详解】设是中点，连接，由于分别是中点，是三角形的中位线，故，所以是两条异面直线所成的角.根据鳖臑的几何性质可知.故，在三角形中，由余弦定理得，故选C.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的余弦值的求法，考查空间想象能力，考查中国古典数学文化，属于基础题.8.设,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出正确选项.【详解】由于，当时，.当时，可能是负数，因此不等得出.故是的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断出原图的结构特征，并由此求得几何体的表面积.【详解】画出图像如下图所示，几何体为.其中，故几何体的表面积为 .故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.10.程序框图如图，若输入的，则输出的结果为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运行程序，当时退出循环结构，输出的值.【详解】运行程序，判断是，判断是，判断是，判断是，判断是，判断是，以此类推，每三个为一个周期，每个周期的和为，判断是，判断否，输出.故选C.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查利用周期性求和，属于基础题.11.将三颗骰子各掷一次,设事件=“三个点数互不相同”, =“至多出现一个奇数”,则概率等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得所表示的事件，然后利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】事件表示“三个点数互不相同，且至多出现一个奇数”.基本事件总数有种，其中一个奇数两个偶数的事件有种，没有奇数的事件有种，故包含的事件有种，故所求概率为.故选C.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.12.已知定义在上的连续可导函数无极值，且 ，若在上与函数的单调性相同，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据连续可导且无极值，结合，判断出为单调递减函数.对求导后分离常数，利用三角函数的值域求得的取值范围.【详解】由于连续可导且无极值，故函数为单调函数.故可令，使成立，故，故为上的减函数.故在上为减函数.即在上恒成立，即，由于，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.第卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卷的相应区域答题.）13.若整数x，y满足不等式组，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点处，目标函数取得最小值为.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意为整数，属于基础题.14.已知椭圆的焦点为，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的与椭圆交于点，则_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆焦点三角形的面积公式，直接计算出三角形的面积.【详解】直径所对的圆周角为直角，故.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积计算公式，其中为对的角，考查圆的直径的几何性质，属于基础题.15.定义在上的函数满足，若，且，则_.【答案】4【解析】【分析】先化简的表达式，然后计算的表达式，结合的奇偶性可求得的值.【详解】依题意，故为奇函数.故，所以 .【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.16.已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的运算，求得，由此求得的取值范围.【详解】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等知识，综合性较强，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卷的相应区域答题.）17.已知数列满足，.（）求数列的通项公式；（）令，数列的前项和为，求证：.【答案】（）（）；（）详见解析.【解析】【分析】（1）利用“退一作差法”求得数列的的通项公式.（2）利用裂项求和法求得的表达式，由此证得不等式成立.【详解】解：（）因为 当时，当时， 由- 得：，因为适合上式，所以（） ()由()知, ，即 .【点睛】本小题主要考查“退一作差法”求数列的通项公式，考查裂项求和法求数列的前项和，属于中档题. “退一作差法”类似已知求这种类型的题目，利用来求得数列的通项公式.18.如图，已知四边形满足，是的中点，将沿翻折成，使得，为的中点.（）证明：平面；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（）详见解析；（）.【解析】【分析】（I）连接交于点，连接，利用中位线证得，由此证得平面.（II）以、所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，计算出所求锐二面角的余弦值.【详解】解：（）连接交于点，连接，由四边形为菱形，为的中点得，平面，所以平面 .（）由第（）小题可知得，以、所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）.则， ， ，设平面的法向量，则 ，令，解得， 同理平面的法向量， ， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值的方法，属于中档题.19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分频数624（）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？ 是否合格 性别 不合格合格总计男生女生总计（）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；（）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：，其中.【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）不需要调整安全教育方案.【解析】【分析】（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）由（II）中数据，计算出，进而求得的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【详解】解：（）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.性别与合格情况的列联表为： 是否合格 性别 不合格合格小计男生女生小计即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为, .的分布列为：20151050所以. （）由（）知： .故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.20.在中，且.以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（）求动点的轨迹的方程;（）已知定点，不垂直于的动直线与轨迹相交于两点，若直线 关于直线对称，求面积的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，根据椭圆的定义求得轨迹方程.（II）设出直线方程为，代入的轨迹方程，写出判别式和韦达定理，根据直线关于轴对称，列方程，化简后求得直线过，求得的表达式，并利用单调性求得面积的取值范围.【详解】解： ()由得：, 由正弦定理 所以点C的轨迹是：以为焦点的椭圆(除轴上的点),其中，则，故轨迹的轨迹方程为. () 由题，由题可知，直线的斜率存在，设的方程为，将直线的方程代入轨迹的方程得:.由得，且 直线关于轴对称,，即.化简得：,得 那么直线过点,所以面积： 设,显然，S在上单调递减，.【点睛】本小题主要考查正弦定理，考查椭圆的定义和标准方程的求法，考查三角形面积公式，综合性较强，属于难题.21.设函数.（）求函数单调递减区间；（）若函数的极小值不小于，求实数的取值范围.【答案】（）和；（）.【解析】【分析】（I）先求得的表达式，然后利用导数求得的单调递减区间.（II）求得的解析式和它的导数.对分成两者情况，通过的单调区间，求得的极小值，根据极小值不小于列不等式，利用构造函数法解不等式求得的取值范围.【详解】解：（）由题可知，所以 由，解得或. 综上所述，的递减区间为和. （）由题可知，所以. （1）当时，则在为增函数，在为减函数，所以在上没有极小值,故舍去； （2）当时，由得，由于，所以，因此函数在为增函数，在为减函数，在为增函数，所以极小值 即.令，则上述不等式可化为.上述不等式 设，则，故在为增函数.又，所以不等式的解为，因此，所以，解得.综上所述.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求与函数极值有关的问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑.22.选修4 4：坐标系与参数方程设极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的参数方程为（是参数），直线的极坐标方程为（）求曲线的普通方程