广东省梅州市2020届高三数学总复习质检试题 理（含解析）

广东省梅州市2020届高三数学总复习质检试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，8，10，12，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】正确理解集合A，根据集合的交集运算，即可求解。【详解】由题意，集合，8，10，12，集合中元素的个数为2故选：A【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.已知复数满足，则（ ）A. B. 5C. D. 10【答案】C【解析】分析：将化为，然后进行化简即可得到z=a+bi的形式，再有模长公式计算即可。详解： 故选C点睛：本题主要考查复数的运算和复数的模长。3.下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D考点：函数的奇偶性4.等差数列的前n项和为，且满足，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】试题分析：由等差数通项公式和前项和公式,又,可得，解得.故本题答案选A.考点：等差数列的通项公式和前和公式.5.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020年二本达线人数增加了倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2020年该校参加高考的人数为，则2020年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为，则2020年该校参加高考的人数为.对于选项A.2020年一本达线人数为.2020年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2020年二本达线人数为，2020年二本达线人数为，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2020年不上线人数为.2020年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键6.如图在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果【详解】画出图形，如下图选取为基底，则，故选C【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算7.若变量满足约束条件则的最小值等于 （ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【详解】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（1，）z2xy的最小值为2（1）故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8.一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点，点落在深色区域内的概率为若在一个显示数字0的显示池中随机取一点，则点落在深色区域的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设全等矩形“显示池”的面积为S，每一个深色区域的面积为x，运用几何概率的公式，计算可得所求值【详解】设全等矩形“显示池”的面积为S，每一个深色区域的面积为x，则，可得，即有点B落在深色区域内的概率为，故选：D本题考查【点睛】本题主要考查了几何概率的应用题，注意运用面积这个测度，考查运算能力和题目的理解能力，属于基础题.9.已知双曲线一个焦点为，且到双曲线的渐近线的距离为1，则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得要求双曲线的焦点在x轴上，且，设双曲线的方程为双曲线C：，求出其渐近线方程为，又由点F到渐近线的距离为1，则有，解可得b的值，计算可得a的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案【详解】根据题意，要求双曲线C的中心为原点，点是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且，设双曲线C：其渐近线方程为，即，若点F到渐近线的距离为1，则有有，解可得，则，则要求双曲线的方程为：；故选：B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程的求解，以及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理准确运算是解答的关键，同时属于双曲线的焦点的位置，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。10.九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除中，两条平行线与间的距离为h，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图求出羡除的体积中所需数据，代入得答案【详解】由三视图还原原几何体知，羡除中，底面ABCD是矩形，平面平面ABCD，AB，CD间的距离，如图，取AD中点G，连接EG，则平面ABCD，由侧视图知，直线EF到平面ABCD的距离为，该羡除的体积为故选：B【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。11.设点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在直线上，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出两曲线对应函数的导数，求得切线的斜率，由与直线的平行，可得切点，由点到直线的距离公式可得最小值，进而得到所求和的最小值.【详解】由题意，函数的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时PR的最小值为，的导数为，设曲线与直线的平行线相切的切点为，可得，即，可得切点为，此时RQ的最小值为，则P，Q重合为，R为，取得最小值为故选：D【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程，以及合理利用点到直线的距离公式，准确求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题。12.在等腰直角中，为中点，为中点，为边上一个动点，沿翻折使，点在平面上的投影为点，当点在上运动时，以下说法错误的是A. 线段为定长B. C. 线段的长D. 点的轨迹是圆弧【答案】B【解析】【分析】根据题意，作出图形，直角三角形的性质，判定A，C，D正确，即可得出结论【详解】如图所示，对于A中，在为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，为定长，即A正确；对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时，此时，即正确；对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；故选：B【点睛】本题主要考查了平面图形的翻折，以及空间几何体的结构特征，其中解答中合理完成平面图象的翻折，以及熟练应用空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题。二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列的前n项和为，首项，且满足：，则_【答案】【解析】试题分析：，故，故答案为：.考点：数列递推式.14.过定点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意，结合抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，由此不难求出它的轨迹方程【详解】设动圆的圆心为圆M过点且与直线l：相切点M到F的距离等于点M到直线l的距离由抛物线的定义，得M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线设方程为，则，的轨迹方程是故答案为：【点睛】本题主要考查了给出动圆经过定点并且与定直线相切，求动圆圆心的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题15.若将函数的图象向右平移个单位后所得图象关于y轴对称，则的最小正值为_【答案】【解析】试题分析：，向右移个单位得，由题意有， ，时，取得最小正值考点：三角函数图象的平移与对称性16.某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到部门工作，安排方法有_种用数字作答【答案】24【解析】【分析】根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，分2种情况讨论：甲单独一人分配到B或C部门，甲和其他人一起分配到B或C部门，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，分2种情况讨论：（1）甲单独一人分配到B或C部门，则甲有2种情况，将A、B、C分成2组，有种分组方法，再将2组全排列，分配到其他2个部门，有种情况，则此时有种安排方法；甲和其他人一起分配到B或C部门，在A、B、C中任选1人，与甲一起分配到B或C部门，有种情况，将剩余的2人全排列，分配到其他2个部门，有种情况，则此时有种安排方法；则一共有种不同的安排方法；故答案为：24【点睛】本题主要考查分类计数原理与排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，认真审题、分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在中，已知点D在边BC上，且，求BD长；求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求的值，利用余弦定理即可计算BD的长由可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可求的值，根据诱导公式可求的值【详解】（1）由题意，因为，在中，由余弦定理得，即，得由，得，在中，由正弦定理，得：，【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18.如图所示，在矩形中，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.（1）证明:；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可得是等腰直角三角形，所以，因为平面平面，根据面面垂直的性质定理可得平面，可得；（2）以所在的直线为轴、轴，过垂直于平面的射线为轴，建立空间直角坐标系，可得平面的法向量为;设平面的法向量为，列方程组赋值求得其坐标，根据向量的夹角公式可得二面角的余弦值.试题解析：（1）是的中点，是等腰直角三角形，易知，,即.又平面平面,面面面,又面.（2）分别以所在的直线为轴、轴，过垂直于平面的射线为轴，建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量为;平面的法向量为.由，二面角的余弦值为.考点：空间中直线与平面的垂直关系及二面角的求法.19.某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数满意度指数（）在抽样的100人中，求对餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（）从该校在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（）如果从，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.【答案】（I）人；（II）；（III）详见解析.【解析】试题分析：（1）对A餐厅“满意度指数”为0，是指分数在内，由频率分布直方图求出 内的频率，再求出人数；（2）分别求出对A,B餐厅评价“满意度指数”为0,1,2时的概率，对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高包括：对餐厅评价的“满意度指数”为1，对B餐厅评价的“满意度指数”为0；对餐厅评价的“满意度指数”为2，对B餐厅评价的“满意度指数”为0；对餐厅评价的“满意度指数”为2，对B餐厅评价的“满意度指数”为1，由相互独立事件计算公式，求出结果；（3）从学生对A,B餐厅评价的“满意度指数”期望看，分别求出分布列，算出期望，得出结果.试题解析：（）由对餐厅评分的频率分布直方图，得对餐厅“满意度指数”为0的频率为，所以，对餐厅评价“满意度指数”为0的人数为.（）设“对餐厅评价满意度指数比对餐厅评价满意度指数高”为事件.记“对餐厅评价满意度指数为1”为事件；“对餐厅评价满意度指数为2”为事件；“对餐厅评价满意度指数为0”为事件；“对餐厅评价满意度指数为1”为事件.所以，由用频率估计概率得：，.因为事件与相互独立，其中，.所以所以该学生对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率为.（）如果从学生对，两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：餐厅“满意度指数”的分布列为：餐厅“满意度指数”的分布列为：因为；，所以，会选择餐厅用餐.注：本题答案不唯一.只要考生言之合理即可.20.已知椭圆：的左、右焦点分别为点，其离心率为，短轴长为.（）求椭圆的标准方程；（）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，此时，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知，又是的零点，代入相减化简得，对求导， .令，求得函数.不等式得证试题解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时，恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增.（2）由（1）知，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，.又因为，为的零点，所以，两式相减得，得.而，所以 .令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.所以.22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；动点P在圆C上不与A，B重合，试求的面积的最大值【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)先根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程