广东省深圳市深圳中学2020学年高二数学下学期第一次月考试试题 理（含解析）

广东省深圳市深圳中学2020学年高二数学下学期第一次月考试试题 理（含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，所以 ，故选C.考点：集合的运算.2.在等差数列中，若前项的和，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：.考点：等差数列的基本概念.3.已知f(x)x2，则f (0)等于()A. 0B. 4C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.考点：1.三视图；2.组合体的体积5.下列函数中，在(0，)内为增函数的是()A. f(x)sin 2xB. f(x)xexC. f(x)x3xD. f(x)xln x【答案】B【解析】【分析】分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】由于，对于选项，不符合题意；对于选项，符合题意；对于选项，不符合题意；对于选项，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.6.已知tan 2，为第三象项角，则sin ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.7.设f（x）=|x1|，则 =（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A. B. C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】依题意令，解得，故点的坐标为，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（，0）由题意，椭圆的方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f （x）的图象可能是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.11.若函数在处取得极大值10，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.【详解】依题意，结合，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.12.设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.【详解】构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数在0,3上的最小值为_.【答案】-2【解析】【分析】对函数求导，求得函数的极值点，比较函数的极值和区间端点的函数值，由此求得函数的最小值.【详解】依题意，故函数在上递减，在上递增，故函数在区间上的最小值为.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在闭区间上的最小值，属于基础题.求解的主要步骤是：首先对函数求导、因式分解，然后求得函数的单调区间，和极值，然后比较函数的极值和区间端点的函数值，由此求得函数的最小值.14.曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为_【答案】【解析】【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积.【详解】根据解得.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为 .【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.15.曲线在点处的切线的倾斜角为_【答案】【解析】【分析】先求得函数在点处的导数，由此求得倾斜角的值.【详解】依题意，令，求得导数为，即切线的斜率为，故倾斜角为.【点睛】本小题主要考查导数的几何意义，考查切线斜率的求法，考查倾斜角和斜率的对应关系，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.16.已知函数在上总是单调函数，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据导函数为二次函数，开口向上，根据导数恒为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意，这是一个开口向上的二次函数，由于原函数总是单调函数，故导函数的判别式，解得.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查二次函数的性质，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知曲线f(x)=x3-2x2+x+1(1) 求该曲线在点（2，f（2）处的切线方程；(2) 求该函数定义域上的单调区间及极值.【答案】（1）；（2）递增区间为和，递减区间为；极大值为，极小值为1.【解析】【分析】（1）求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，根据点斜式求出切线方程.（2）对函数求导，根据导数的正负写出单调区间，由此求得函数的极值.【详解】解：由直线的点斜式方程，可知在点（2,3）处的切线方程为即. (2)由（1），可知 ，令解得或当即或，函数单调递增；当即，函数单调递减。函数的单调增区间为和；单调减区间为并且当 时，函数有极大值；当时，函数有极小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，属于基础题.18.如图，在中，是边的中点，且，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：本题主要考察学生对三角函数的理解，根据三角形余弦定理其中的一个式子，带入对应条件即可求出A的余弦；根据上问得出的结论，先求出A的正弦值，再根据题中所给条件求出未知线段的长度，最后根据正弦定理，带入数据，进行求解，即可得出结果。试题解析：（1）在中， ；（2）由（1）知，且，是边的中点，在中，解得由正弦定理得，考点：正弦定理，余弦定理的综合运用19.已知数列是等比数列，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（）；（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列通项的性质求出的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和【详解】解：（1）设数列的公比为，因为，所以，因为是和的等差中项，所以即，化简得因为公比，所以所以（）（2）因为，所以则，.得，所以【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查错位相减求和法求数列的前项和，属于中档题.20.如图，在三棱柱中，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面，所以，再由勾股定理，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面.（2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】（1）证明：因为平面，所以，因为，所以，又，所以平面.（2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，所以，取，则.又平面，取平面的法向量，所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角为.【点睛】本题考查了线面垂直判定与证明，以及二面角的计算问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理。同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点。（）写出的方程; （）若，求的值。【答案】（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为（）设，其坐标满足消去y并整理得，故若，即而，于是，化简得，所以【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义，可判断点的轨迹为椭圆，再根据椭圆的基本量，容易写出椭圆的方程，求曲线的方程一般可设动点坐标为，然后去探求动点坐标满足的方程，但如果根据特殊曲线的定义，先行判断出曲线的形状(如椭圆，圆，抛物线等)，则可直接写出其方程；（2）一般地，涉及直线与二次曲线相交的问题，则可联立方程组，或解出交点坐标，或设而不求，利用一元二次方程根与系数的关系建立关系求出参数的值(取值范围)，本题可设，根据，及满足椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系消去坐标即得.试题解析：(1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,长半轴为2的椭圆, 2分它的短半轴, 4分故曲线的方程为. 6分(2)证明:设,其坐标满足消去并整理,得8分故. 10分即，而，于是，解得13分考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.22.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x-6lnx,其中R.(1)当=1时,判断f(x)的单调性;(2)当=2时,求出g(x)在（0,1）上的最大值；(3)设函数当=2时,若总有成立,求实数m的取值范围.【答案】（1）f(x)在上单调递增；（2）；（3）8-5.【解析】【分析】（1）当时，利用函数的导数可判断出函数在上递增.（2）当时，利用的导数求得函数的单调区间，进而求得函数的最大值.（3）将原不等式成立转化为来求解，根据（2）的结论以及二次函数在上的最大值列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】(1)由题