江西省奉新县第一中学2020学年高二上学期期末考试数学试题 理

2020届高二上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.）1. 计算：（） A B C D2由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为( )A. B. C. D. 3已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )A. B. C. D. 4已知直线的倾斜角为，斜率为k，那么“”是“k”的( )A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5 函数的图象如下图所示，则导函数的图象的大致形状是（ ）A B C D6下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )7已知f(x)x3ax在(，1上递增，则a的取值范围是( )Aa3 Ba3 Ca3 Da38对任意实数，直线与圆C：x2y2r2总相交于两不同点，则直线与圆C的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D不能确定9已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A. B. C. D.10如图所示，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A6 B9 C12 D1811. 已知错误！未找到引用源。为单位圆上不重合的两定点，错误！未找到引用源。为此单位圆上的动点，若点错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，则点错误！未找到引用源。的轨迹为（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆12若函数在(-,+)上单调递减，则m的取值范围是( )A.-, B.- , C.-, D.-,二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知p：，则p对应的x的集合为 14. 已知点A(2，3)，B(3，2)，若直线kxy1k0与线段AB相交，则k的取值范围是 15.已知A,B,C,D四点在体积为的球面上，且AC=BD=5,AD=BC=,AB=CD,则三棱锥D-ABC的体积是 16.关于的方程的三个实根分别为一个椭圆、一个抛物线、一个双曲线的离心率，则的取值范围为_三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知命题，命题。（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数x的取值范围。18. （本题满分12分）一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求此圆的方程19. （本小题满分12分）设函数，其中为自然对数的底数.（1）时，求曲线在点处的切线方程；（2）函数是的导函数，求函数在区间上的最小值.20.（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值21.（本小题满分12分）已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，证明：为定值.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，设函数，函数，若恒成立，求实数的取值范围证明：数学参考答案（理科）1、 选择题题号123456789101112答案ACBCDDDAABDB二填空题 13. x|1x4.则实数m的取值范围为(4,+).(2)m=5，命题q: “pq”为真命题，“pq”为假命题，命题p，q为一真一假。当p真q假时， 得x. 当q真p假时， 得或5x6，因此x的取值范围是4,1)(5,6).18. （本题满分12分）一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，求此圆的方程解析方法一：所求圆的圆心在直线x3y0上，且与y轴相切，设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r3|a|.又圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心C(3a，a)到直线yx的距离为d.有d2()2r2.即2a279a2，a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.方法二：设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为.r2()2()2.即2r2(ab)214 由于所求的圆与y轴相切，r2a2又因为所求圆心在直线x3y0上，a3b0.联立，解得a3，b1，r29或a3，b1，r29.故所求的圆的方程是(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.19.解析：(1) 时， ，曲线在点处的切线方程为即 6分20. 解析(1)设FC的中点为I，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，OBBCB，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.(2)方法一：连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0，2，0)，C(2，0，0)过点F作FM垂直OB于点M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)设m(x，y，z)是平面BCF的法向量，由可得可得平面BCF的一个法向量m(1，1，)因为平面ABC的一个法向量n(0，0，1)，所以cosm，n.所以二面角FBCA的余弦值为.方法二：连接OO.过点F作FM垂直OB于点M，则有FMOO.又OO平面ABC，所以FM平面ABC.可得FM3.过点M作MN垂直BC于点N，连接FN.可得FNBC，从而FNM为二面角FBCA的平面角又ABBC，AC是圆O的直径，所以MNBMsin45，从而FN，可得cosFNM.所以二面角FBCA的余弦值为.21.（1）解：设，联立方程组，消元得，所以，.2分又，4分所以，从而抛物线的方程为.5分（2）因为，所以，6分因此8分又，9分所以.11分即为定值.12分22.解