河北省衡水市武邑中学2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）

河北武邑中学2020学年高一下学期期中考试数学试题一.选择题，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合，再由补集的定义可得结果.【详解】因为，所以 ，故选B.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法以及集合补集的定义，属于基础题.2.已知向量，若，则的值为（ ）A. 3B. C. D. -3【答案】A【解析】【分析】先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.【详解】因为，所以由得，选A.【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.3.要得到函数图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）A. 伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度B. 伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度4C. 缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度D. 缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度【答案】A【解析】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 再将得到的图象向左平移个单位长度得到 故选A点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键4.若函数.则函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出与时函数值的取值范围，再求并集即可.【详解】因为时，；时，所以函数值域是，故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的值域以及指数函数与对数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5.已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（ ）A. -1B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据得到，可得,再根据向量投影的定义即可得结果.【详解】因为平面向量是非零向量,即,因为，所以,所以，向量在向量方向上的投影为，故选A.【点睛】平面向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.6.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的值，然后利用，展开后计算得出正确选项.【详解】由于， 所以.故 ，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7.已知、是锐角的三个内角，向量，则与的夹角是（ ）A. 直角B. 钝角C. 锐角D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形的性质可知，可得，从而可得结果.【详解】因为是锐角的三个内角，所以，即，所以，又因为向量，.故的夹角为锐角.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示以及锐角三角形的性质、诱导公式以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是.8.如图图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，由可得，解得，利用几何概型概率公式可得结果.【详解】设，因为，所以，即，解得，设在任取一点，则此点取自正方形的事件为，由几何概型概率公式可得，.故选A.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.9.如图是函数（）的部分图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由,求得，从而求出函数的解析式，再由求得，进而可得结果.【详解】由函数图象得,所以，所以，又因为，所以或，又因为函数周期为，故，解得，则.故选D【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象与解析式，同时考查了正弦函数的周期公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.10.函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质可得而且，利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上单调递增且连续，而，即，所以，函数的零点所在的区间是，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11.已知中，于，则（ ）A. 6B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】求得结合，利用，根据平面向量数量积的运算法则化简即可得结果.【详解】因，所以，因为 ，且,所以，可得，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.12.若是方程的解，是方程的解，则等于（ ）A. B. 1C. D. -1【答案】B【解析】【分析】方程的根就是对应函数图象的交点，利用函数与互为反函数，推出函数图象交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题【详解】因为是方程的解，是方程的解；所以是方程的解，是方程的解，是图象交点的横坐标；是图象交点的横坐标，因为与互为反函数，所以与的图象关于对称，又因为的图象也关于对称，所以关于对称，可得，故选B.【点睛】本题主要考查反函数的性质，函数图象的应用，考查转化思想，属于难题转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将方程的根的问题转化成曲线交点问题是解题的关键.二.填空题：将答案填在答题卡上相应位置.13.不共线向量，满足，且，则与的夹角为_.【答案】【解析】由垂直可知=0,即,又因为 ,所以.填（或）.14.定义在上的函数满足，若，且，则_.【答案】4【解析】【分析】先化简的表达式，然后计算的表达式，结合的奇偶性可求得的值.【详解】依题意，故为奇函数.故，所以 .【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.15.若圆与圆相切，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得的值.【详解】因为，所以,因为两圆相切，所以或，解得或.【点睛】本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基本题.16.在平面内，点是定点，动点，满足，则集合所表示的区域的面积是_.【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.三.解答题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知定义在上的函数是增函数.（1）若，求的取值范围；（2）若函数是奇函数，且，解不等式.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)结合函数的定义域，利用单调性,原不等式转化为,由此解不等式组可求得的范围；(2)利用函数的单调性、奇偶性、结合，将原不等式转化为,解不等式即可得出结论.【详解】（1）由题意可得，求得，即的范围是.（2）函数是奇函数，且，.不等式的解集为.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性、奇偶性的应用，以及抽象函数解不等式，属于中档题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.18.设向量，为锐角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示可得，求出的值，进而可得结果；(2) 由,利用向量共线的充要条件可得，再利用两角差的正切公式可得结果.【详解】（1），.又为锐角，.(2) ,. ，.【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标表示以及向量共线的充要条件，考查了两角差的正切公式的应用，属于中档题.向量的位置关系问题是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.19.如图所示，平面上，点，点在单位圆上且 .（1）若点，求的值：（2）若，四边形的面积用表示，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得tan，进而得到tan2，最后求出（2）由条件求出，于是得到+=sin+cos+1=sin（+）+1（0），然后再根据三角函数的相关知识求解【详解】（1）由条件得B（，），AOB=， tan=， tan2 = = = ，tan（2+）= = =（2）由题意得=|sin（）=sin=（1，0），=（cos，sin）， =+=（1+cos，sin）， =1+cos， +=sin+cos+1=sin（+）+1（0）， ，sin（）1， +的取值范围为【点睛】本题将三角函数的知识与向量结合在一起考查，体现了向量的工具性，解题时可根据所给的条件及要求逐步将问题进行转化，最后化为三角函数的问题求解20.一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1) 设，先根据的最大和最小值求得和的值,利用周期公式求得,根据当时,可求得的值,从而可得结果；(2)由最大值为3,可得三角函数方程,进而可求点第一次到达最高点的时间;【详解】（1）设，则，.，（2）令，得，点第一次到达最高点大约要的时间.【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求解析式，以及三角函数性质的实际应用，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以又因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面又平面，所以（2）延长交于点，因为，为中点，所以，所以因为，所以由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面（3）设为中点，连接，由已知，所以平面又因为，所以平面，所以平面平面因为，所以平面，所以多面体为直三棱柱因为，且，所以由已知，且，所以，且又因为，平面，所以平面因为，所以，所以【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数（1）设，比较：与的大小关系；（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（