蝴蝶定理推广【蝴蝶定理的八种证明及三种推广】

蝴蝶定理推广【蝴蝶定理的八种证明及三种推广】 蝴蝶定理的证明 定理：设M为圆内弦的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交于点E和F，则M是EF的中点。 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于 ?EUO?EMO?90? ?FVO?FMO?90? 得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF?MVC 又?MAD?MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA?MVC，?AUM?MVC 则 ?EOM?MOF，于是ME=MF。 证法2 过D作关于直线OM的对称点D，如图3所示，则 ?FMD?EMD，MD=MD 1 联结DM交圆O于C，则C与C关于OM对称，即 PC?CQ。又 111?CFP=QB+PC）=QB+CC+CQ）=BC=?BDC 222 故M、F、B、D四点共圆，即?MBF?MDF 而 ?MBF?EDM 2 由1、2知，?DME?DMF，故ME=MF。 图 2 证法3 如图4，设直线DA与BC交于点N。对?NEF及截线AMB，?NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有 FMEANBFMEDNC ?1，?1 MEANBFMEDNCF 由上述两式相乘，并注意到 NA?ND?NC?NB 得 图 3 FMANNDBFCFBF?CF ? 2 MEAEEDBNAE?ED 2 ? ?PM+MF?MQ-MF?PM?MF PM-MEMQ+MEPM2?ME2 2 2 2 化简上式后得ME=MF。2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 图 4 证法 4 （Steven给出）如图5，并令 ?DAB=?DCB?ADC=?ABC? ?DMP=?CMQ? ?AMP=?BMQ?PM?MQ?a ME?x，MF?y S?AMES?FCMS?EDMS?FMB ?1即 由 S?FCMS?EDMS?FMBS?AME ， AM?AE?sin?FM?CM?sin?ED?MD?sin?MF?MB?sin? ?1 MC?CF?sin?EM?MD?sin?FB?BM?sin?MA?ME?sin? 图 5 MF2CF?FBQF?FP?a?y?a?y?a2?y2 化简得 ?2 22MEAE?EDPE?EQa?xa?xa?x y2a2?y2 即 2?2从而 x?y,ME?MF。 2 xa?x， 证法 5 令?PMD?QMC?，?QMB?AMP?，以点M为视点，对?MBC和?MAD分别应用张角定理，有 sin?sin?sin?sin?sin?sin? ? MFMCMBMEMDMA 上述两式相减，得 1?sin?sin?1 sin?MC?MD?MB?MA? ? MFMEMC?MDMA?MB? 设G、H分别为CD、AB的中点，由OM?，有 MB?MA?2MH?2OMcos?90?2OMsin?MD?MC?2MG?2OMcos?90?2OMsin? 于是 sin?故ME=MF。 1?1 ?0而?180?，知sin?0，MFME?， （二） 运用解析几何的完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证 明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供。 证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为 x2?y?a?R2 2 。 直线AB的方程为y?k1x，直线CD的方程为y?k2x 。 由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为 ?x2?y?a?R2?y?k1x?y?k2x?0 ? ? 222 令y?0，知点E和点F的横坐标满足二次方程?k1k2?x?a?R?0 2 ? ， 由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即x1?x2，故ME=MF。 证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为 5 ?x?a? 2 ?y2?r2 。 则x1、x4分别是二次方 直线AB、CD的方程可写为y?k1x,y?k2x 又设A、B、C、D的坐标为?xi,yi?,i?1,2,3,4程 ， ?x?a? 2 22 ?k12x2?r2,?x?a?k2x?r2的一根。AD在y轴上的截距为 2 k2x4?k1x1?x1?k1?k2?x1x4?y4?y1 y1?x1?k1x1? x2?x1x4?x1x4?x1。 同理，BC在y轴上的截距为 ?k1?k2?x2x3 x3?x2 两 根 。， 注意到x1、x2是方程 ?1?k?x 21 2 ?2ax?a2?r2?0x2?2 a?x2 的 x3、x4 是方程 ?1?k? 22 x?xx1?x22a ?a20?r的两根，所以?22?34从而易 x1x2a?rx3x4， 图 8 得 xxx1x2 ?34?0即ME?MF。 x1?x2x3?x4 ， 证法 8 如图8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B三点共线，令 ? ?BMx?，?CMx?，则?C?Fsin?F?Bsin?C?Bsin? 2?2? 即 ?F? ?C?Bsin?A?Dsin? 1 ?E? 2 ?Bcos?Ccos?Acos?Dcos? 作OU?CD于U，作OV?AB于V。注意到?A?B?C?D 3 由Rt?OUM与Rt?OVM可得 ?B?A?D?C 4 ? cos?cos? 将34代入12可得?E?F，即ME=MF。 二 蝴蝶定理的推广和猜想 （一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF 和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM . 推论 1 过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM. 证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =,PCM = DFM = ; CM E = DM F =,QDM = CEM = ; 记 PM E, QM F,PMC, QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4. 则由恒等式S2S3S4S1= 1知M PM Esin MQM Fsin FQFM sin ( - )CPCM sin MCsin (+)MD sin (+) DQDM sin EPEM sin ( - )=DQM P2EPMQ2 = 1,即 QFQDM P2= PCPEMQ2. 又由割线定理知PCPE = PAPB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QFQD = QBQA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2. 由于 a 0, x, y 0,所以 x = y .即 PM = QM. 3 （二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM . 推论 2 已知直线 AB与 O相离. OM AB, M 为垂足. 过 M作 O任意两条割线 MC, M E分别交 O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F作 FKAB, 交直线 OM于 N,交 O于 K . 连结 M K交 O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) . 又由割线定理知M EM F = MGM K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 从 CQM = CFK = CGK知 CGM +CQM= 180 , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 MGQ =MCQ. 又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM. （三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们 可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM . 推论 3 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和