大学物理 朱峰(第一版)习题精解第一章 质点运动学

习题精解解题方法与例题分析一、已知运动方程（位置矢量），计算位移、速度和加速度。计算（瞬时）速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量（运动方程）对时间求导即为速度，速度对时间求导就是加速度。计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。例1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为一、已知运动方程求r及通过求导求v、a，并判断物体作何种运动。 （其中a、b为常量），则该质点作何种形式的运动？解 由质点的位置矢量 得运动方程 轨道方程 ， 质点的速度 质点的加速度 质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平面内作匀变速直线运动，其轨道方程为。例2 某质点的运动方程为 x =2t7t3+3（SI），则该质点作何种形式的运动？并确定加速度的方向。解 由质点的运动方程 x =2t7t3+3得质点的速度 质点的加速度 质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x轴负方向。例3 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x =5t2 3t3 (SI)。试求：（1）在第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒末的加速度。解 （1）由平均速度的定义：（2）由定义 时，有 （3）由定义 时，有 例4 在离船高度为h的岸边，绞车以恒定的速率v0收绳（绳原长l0），使船靠岸，如图11所示，试描述船的运动。图11解 建立如图坐标系，显然船在x轴上作直线运动。t时刻绳长为船的运动方程为 速度为 方向沿x轴负向。加速度为 方向沿x轴负向。可见，船作加速直线运动，离岸越近，x越小，a越大。例5 已知质点的运动方程x=2t，y=4t2（SI）。试求任一时刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。解 由运动方程可求得质点速度的x、y分量, 速度大小为 同理：， m/s2所以加速度大小为 m/s2切向加速度： 法向加速度：二、已知加速度及初始条件，计算速度和运动方程。此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为速度，速度对时间的积分就是运动方程。解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。例6 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a=3+6x2（SI）。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。解 设质点在任意位置x处的速度为v，则 分离变量，两边积分：得 例7 一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即，其中常量k0。若关闭发动机时汽船的速度为v0，求：（1）关闭发动机后t时刻的汽船速度；（2）关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。解 以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x的正方向，坐标原点选择在刚关闭发动机的位置处。（1）按直线运动的加速度公式有 由题意，代入上式，有 分离变量 已知t=0时，并设t时刻的速度为v，对上式取定积分 （2）由 有 分离变量，两边取定积分，有 由此得汽船的运动方程为 汽船在t时间内行驶的距离 例8 一质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为。求：（1）经过多少时间它的总加速度恰好与半径成45角？（2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？解 已知，即 由初始条件: t =0时，得质点的瞬时速率质点的法向加速度的大小为 这样总加速度为： 其中为沿半径指向圆心的单位矢量，为切向单位矢量。（1）设总加速度与半径夹角为，则有： ， 当=45时，有，即要求3t2 =3，t =1s（另一负根舍去）所以t =1s时，总加速度与半径成45角。（2）由 和初始条件：t =0时，s0=0 ，得：将t =1s 代入，求出这段时间内的路程：由角位移与路程的关系 当t =1s时, 三、利用角量与线量的关系解题。例9 质点P在水平面内沿一半径为R =1m的圆轨道转动，转动的角速度w与时间t的函数关系为w =kt2（k为常量）。已知t =2s时质点P的速率为16m/s，试求t =1s 时，质点P的速度与加速度的大小。解 首先确定k值：所以有 ， 时，1-1某质点的速度为，已知t=0时它经过点（3，7），则该质点的运动方程为（ ）A. B. C. D.不能确定解：本题答案为B.因为 所以 于是有 即 亦即 故 1-2 一质点在平面上作曲线运动,时刻位置矢量为，时刻的位置矢量为，求：（1）在时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出及 。解 （1）在时间内质点的位移矢量式为 （2）该段时间内位移的大小 该段时间内位移的方向与轴的夹角为 （3）坐标图上的表示如图1.1所示1-3某质点作直线运动，其运动方程为 ，其中 以 计， 以 计，求：（1）第3s末质点的位置；（2）头3s的位移大小；（3）头3s内经过的路程。 解 （1）第3s末质点的位置为（2）头3s的位移大小为 （3）因为质点做反向运动是有，所以令，即因此头3s内经过的路程为 1-4 已知某质点的运动方程为，式中以计，和以计。（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出到这段时间内质点的平均速度；（3）计算末末质点的速度；（4）计算末和末质点的加速度。解 （1）由质点运动的参数方程消去时间参数t得质点的运动轨迹为运动轨迹如图1.2 （2）根据题意可得到质点的位置矢量为 所以到这段时间内质点的平均速度为 （3）由位置矢量求导可得质点的速度为 所以 末和 末的质点速度分别为 和（4）由速度求导可得质点的加速度为 所以 末和 末质点的加速度为 1-5湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸，如图1.3所示。设绳子的原长为，人以匀速拉绳，使描述小船的运动。解建立坐标系如图1.3所示。按题意，初始时刻（t=0）,滑轮至小船的绳长为，在此后某时刻t,绳长减小到，此刻船的位置为这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为 将其对时间求导可得小船的加速度为 其中负号说明了小船沿轴的负向（即向岸靠拢的方向）做变加速直线运动，离岸越近（越小），加速度的绝对值越大。 1-6大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布。这种鱼跃出水面的速度可达32。它最高可跃上多高的瀑布？和人的跳高记录相比如何？解 鱼跃出水面的速度为,若竖直跃出水面，则跃出的高度 此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人跳高的两倍。1-7 一人站在山坡上，山坡鱼水平面成角，他扔出一个初速度为的小石子，与水平面成角，如图1.4所示。（1）若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上距离抛出点为S处，有。（2）由此证明对于给定的和值时，S在时有最大值。解 （1）建立如图1.4所示的坐标系，则小石子的运动方程为 当小石子落在山坡上时，有 联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞行的时间（即从抛出到落在山坡上是所经历的时间）t所满足的方程为 解之得 但时不可能的，因时小石子刚刚抛出，所以小石子落在山坡的距离为 （2）给定和值时，有，求S的最大值，可令，即 亦即 此时，所以S有最大值，且最大值为 1-8一人扔石子的最大出手速度为。他能击中一个与他的手水平距离为，高为处的目标吗?在这个距离上他能击中的最大高度是多少？ 解 设抛射角为，则已知条件如图1.5所示，于是石子的运动方程为 可得到石子的轨迹方程为 假若石子在给定距离上能击中目标，可令此时有 即 以为函数，令，有，此时，即在给定已知条件及给定距离上能够击中目标的最大高度为，故在给定距离上能击中高度的目标。1-9 如果把两个物体A和B分别以速度和抛出去，与水平面的夹角为，与水平面的夹角为，试证明在任意时刻物体B相对于物体A的速度为常矢量。解 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内做上抛运动，如图1.6所示，则两个物体的速度分别为 所以在任意时刻物体B相对于物体A的速度为 它是与时间无关的常矢量。1-10 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度。若物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔为，而沿两个方向经过水平线A上方h处的另一水平线B的时间间隔为，设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该重力加速度的大小。解 设抛出物体的初速度为，抛射角为，建立如图1.7所示的坐标系，则 所以 于是有 此二式平方相减可得 注意此方法也是实验测得重力加速度的一种方法。1-11 以初速度将一物体斜上抛，抛射角为，不计空气阻力，则物体在轨道最高点处的曲率半径为（ ）A. B. C. D.不能确定解 本题正确答案为 C因为初速为将一物体斜向上抛，抛射角为，不计空气阻力时，物体在轨道的最高点处的速率为，而此时物体仅有法向加速度，且，所以物体在轨道最高点处的曲率半径为1-12 一质点从静止出发沿半径为的圆周运动，其角加速度随时间的变化规律是，试求该质点的角速度和切线加速度。解 因为 所以 于是有 故质点的角速度为 切线方向加速度为 1-13 一质点做圆周运动方程为。在时开始逆时针旋转，问：（1）s时，质点以什么方向转动；（2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置多大？解 （1）因质点做圆周运动角速度方向改变瞬时， 即 所以时，质点将以顺时针方向转动。 （2）质点转动方向改变的瞬间，它的角位置为 1-14 质点从静止出发沿半径为的圆周做匀变速运动，切向加速度，问：（1）经过多长时间后质点的总加速度恰好与半径角？（2）在上述时间内，质点所经历的角位移和路程各为多少？ 解 因为 所以 即 故质点做圆周运动的瞬间时速度为瞬时速率质点的法向加速度的大小为 其方向恒指向圆心，于是总加速度为 其中为沿半径指向圆心的单位矢量，为切向单位矢量。（1）设总加速度与半径的夹角，如图1.8所示，则 ，当=时有，即（负根舍去），所以时，与半径成角。（2）因为，所以故在这段时间内质点所经过的路程为，角位移为。1-15 汽车在半径为的圆弧弯道上减速行驶，设某一时刻，汽车的速度为，切向加速度的大小为。汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。解 已知条件如图1.9所示。汽车的法向加速度为 汽车的总加速度为 所以，故加速度和的夹角为 1、质点的运动方程为 (SI)，则在t 由 0 至 4s 的时间间隔内，质点的位移大小为多少？在 t 由0 到 4s 的时间间隔内质点走过的路程为多少？解：本题质点在x方向作直线运动（1） t1=0时，=0t2=4(s) 时, =(m)位移大小（m）(2 ) 令 得t=3 (s ) 即t=3 (s )时，质点拐弯沿x轴负向运动，则04（s）内质点走过的路程： 2、质点在一直线上运动，其坐标与时间有如下关系： (SI) (A 为常数)，则在任意时刻 t 质点的加速度为多少？什么时刻质点的速度为零？解：（1） （SI）（2）令 有 得 (SI) (K=0,1,2)3、一质点沿X 方向运动，其加速度随时间变化关系为：a=3+2t (SI)，如果初始时质点的速度 为 5m/s ，则当 t 为 3s 时，质点的速度为多少？解：由 积分 4、某物体的运动规律为，式中的 k 为大于零的常数,当 t=0 时，初速为 。速度与时间的函数关系是怎样的?解：由 得积分 得5、质点沿半径为R的圆周运动，运动方程为 (SI)，则 t 时刻质点的法向加速度大小为多少？角加速度为多少？解：（1）由 得 （SI） (2 ) (SI)6、飞轮作匀减速转动，在 5s 内角速度由 40rad/s 减到 10rad/s ，则飞轮在这 5s 内总共转过了多少圈？飞轮再经过多少时间才能停止转动？解：（1）飞轮作匀减速转动，所以有 则又 得 飞轮总共转过 （圈）（2）设飞轮再经过时间t停止 由 得 则7、在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：（SI）则t时刻其速度为多少？其切向加速度的大小为多少？该质点运动的轨迹是什么？解：（1）（2）速率：（3）两式平方后相加，轨迹为一半径为10m的圆。8、一条河在某一段直线岸边有A、B两个码头，相距 1km ，甲、乙两人需要从码头A到码头B，再立即由B返回。甲划船前去，船相对河水的速度 4km/h，而乙沿岸步行，步行速度也为 4km/h ，如河水流速为 2km/h ，方向从A到B，试推算甲比乙晚多少分钟回到码头A？解：由A到B船对地的速度大小：由B到A船对地的速度大小：甲由A到B再回到A所需时间：乙由A到B再回到A所需时间：所以甲比乙晚十分钟回到码头A 。9、轮船在水上以相对于水的速度航行，水流速度为，人相对于甲板以速度行走。如人相对于岸静止，则、和的关系是怎样的？解： 即 的关系为：1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为其中为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：1） 由知 消去t可得轨道方程 2） 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）质点的轨道；（2）从到秒的位移；（3）和秒两时刻的速度。 解：1）由可知 消去t得轨道方程为： 2） 3） 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：1） 2） 1-4. 一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 （1） 图 1-4 （2） （3）解之 1-5. 一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的，.解：（1） 式（1） 式（2） （2）联立式（1）、式（2）得 （3） 而 落地所用时间 所以 1-6. 路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度.证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为 ，人影中头的坐标为，由几何关系可得 图 1-6 而 所以，人影中头的运动方程为 人影中头的速度 1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解： 若 解的 1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。 图 1-8解：小球落地时速度为 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图 （1） （2）第二次落地时 所以 1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为.解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 现在赤道上物体 1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：在顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0。因此有： 在落地点速度为 1-11. 飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为有： 联立方程解得： 1-12. 设将两物体和分别以初速和抛掷出去与水平面的夹角为；与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体相对物体的速度是常矢量。 解：两个物体在任意时刻的速度为 与时间无关，故相对物体的速度是常矢量。1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？物体在任意时刻的速度表达式为 故气球中的观察者测得物体的速度 代入时间t可以得到第二秒末物体速度第三秒末物体速度 第四秒末物体速度 1-14. 质点沿在轴向运动，加速度，为常数设从原点出发时速度为，求运动方程.解： 1-15. 跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度，.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。解：取水面为坐标原点，竖直向下为轴跳水运动员入水速度 1-16. 一飞行火箭的运动学方程为：，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：（1） （2）1-17. 质点的运动方程为：式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为 这是一条空间螺旋线。在O平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h（2） （3） 思考题1-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为，瞬时