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高铁1602314宿舍,易拉罐尺寸的最优设计方案,销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？,问题：1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设计？2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧面厚度的3倍），如何设计最优？,一、摘要,对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型,由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省；在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：,二、模型建立,问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知：容积为：表面积为：模型一：,图1各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐,模型一：,（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根据材料的用量与其体积成正比。容积一定时，所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：,图2有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐,模型二：,应使Y取最小值，,模型二：,（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度4的情形在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝长度也尽量取到最小。根据模型分析，可得焊缝长度：,将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以将二者直接相加。,模型三：,（此模型即为求解问题二的完善模型）,1.问题一的求解表110种355ml易拉罐饮料的相关测量数据,三、模型求解,表2GBT91062001中规定的罐体主要尺寸(单位：毫米)5,（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形，根据模型二，用拉格朗日乘数法求解新的函数：,然后分别对,，,，,解得：,即圆柱体的高与半径之比为6时为最优尺寸,（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形根据模型一知：,取最小值时，必定有,，,图7体积一定时,随,变化的曲线,即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少。,根据问题一中测得的实际数据可以得到表3检验数据表,由表3可知：所有,均在此范围内，在1与3之间必有一个最优值符合实际条件，从结果可大致得出此最优值应
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