江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——组合恒等式教师教师版

第一课时：简单的组合恒等式的证明【教学目标】1.掌握基本的组合数公式，能较为熟练的运用组合数公式.2.了解组合恒等式的基本的证明方法，会证明较为典型的组合恒等式.【教学过程】一、课堂引入同学们了解以下的组合数公式吗？解决组合恒等式问题需要对组合数公式比较熟悉，所以要掌握一些最基本的公式和常用的组合恒等式.1.基本组合数公式（1） （2）（3）或（4）（）.2.常见的组合恒等式（1）；（2）；（3）.以上的恒等式可以通过赋值法进行证明.二、例题精讲例1.证明：证法一组合数公式法: 有组合数性质可得：左边=.=右边证法二组合数实际意义： 设有n+1个不同元素从这n+1个元素中取出m+1个不同元素的取法有种。另一方面，我们也可将这些取法分类考虑如下：若取，则有种取法，若不取，取出，则有种取法，若不取取出则有种取法，若不取取出则有种取法所以取法种数又等于，因此原式成立证法三母函数法：等式左边是的展开式中含的项的系数，由数列求和公式可得时上式右边展开式中含的项就是分子中含的项，其系数为，因此有证法四数学归纳法：对任意的当时 左边= 右边=显然成立当时命题成立，即当时， 即当时也成立， 综上所述由可得，原命题成立即. 说明：通过此道非常基础的习题，我们可以看出组合恒等式的四种常用解法. 其中母函数法和构造组合模型法，这两种方法都用到了“算两次”的思想，所谓“算两次”原理，又称富比尼原理，就是对同一个量，用两种不同的方法去计算，所得的结果应相等（在常州模拟卷中有类似的算两次描述）.其中利用组合数的实际意义构造模型相对较难操作，并且在阅卷时较为不利，所以仅作教学示范，在平时考试解题时一般不推荐使用.例2.当时，（1）求证：；（2）求和：证法一组合数公式法:（1）左边=右边（2）左边=证法二求导积分赋值法：（1）由两边对求导可得 显然命题得证. （2） 两边同时乘以 两边再对求导可得 令可得说明：本题通过对原来的函数进行求导变形后，能得到不同的组合恒等式，是非常典型的导函数赋值法的题，与前面的母函数法本质相通却又有所不同，需要用到求导或积分的手段，而且针对组合数上标的不同特征应该采用不同的构造母函数的方法，然后考察特定项或者整体项，个人觉得如果恒等式中组合数上标递增且含有整数的次幂应该用整体法，如果组合数上标均为同一个值应该采用考察特定项法.例3.（16江苏高考题） 求的值； 设，求证： （2）证法一组合数公式法:因为，所以左边又由，知 所以，左边右边证法二母函数法: 等式左边 为函数（）的展开式中含前的系数 记则用错位相减法易求得其中前的系数为即命题得证.证法三求导积分赋值法：令只要看其中前的系数，令则即只要看中含的项显然为 ，再对求导可得中前的系数为. 证法四数学归纳法：对任意的， 当时，左边，右边，等式成立， 假设时命题成立， 即， 当时， 左边=，右边， 而， 因此左边=右边，时命题也成立.综上所述由可得命题对任意均成立说明：本题中具体操作性较强的为组合数公式法和导函数法，其中组合数公式需用阶乘式另行证明.母函数法运算量较大，数学归纳法证明恒等式非常有效，而且高中阶段的递推一般不会太复杂，所以比较容易上手，但是有一定的局限性.总结：证明组合恒等式的常用方法（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明；（2）母函数法，也成为生成函数法；（3）求导数积分赋值法（类似于陈颖老师所说的函数升降格变形）；（4）数学归纳法；（5）利用组合数的实际意义； 在具体解题中，常常需将这些方法同时结合运用. 其中法5利用组合数的实际意义不常用.【巩固练习】1. 已知求：（1）；（2）；（3）.2. （08江苏）请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：（2）对于正整数，求证：（i）； （ii）； 证明：（1）在等式c两边对求导得 移项得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，整理得 所以 （ii）由（1）知两边对求导，得在上式中，令 即 ，亦即 （1） 又由（i）知 （2）由（1）+（2）得第二课时：组合恒等式的应用【教学目标】1.掌握高中阶段组合恒等式证明的四种方法，能熟练选择并运用.2.会用组合恒等式的思想解决一些较为复杂的组合数求值问题，理解组合数求值问题的本质.【教学过程】一、课堂引入前面我们学些了四种基本的证明组合恒等式的方法，但是在具体操作时我们发现，并不是所有的问题都是以恒等式的形式展现的，我们会遇到一些关于组合数的求值问题，如何去求解这些问题，能否用前面我们所学到的方法去解决，哪些方法可以继续使用？这就是我们今天所要研究的问题，从恒等式角度去探索求值问题，看清求值问题的本质.二、例题精讲例1. 已知.（1），求中含项的系数；（2）化简（用表示），写出推理过程.证法一组合数公式法:参考公式 原式分子=原式=证法一组合数公式法:参考公式 原式分子=原式=证法二母函数法（标答）等式左边 可以视为函数的展开式中的含的项前的系数，令用错位相减法可以得到，其中含的项前的系数为，所以原式=证法三求导积分赋值法：原式分子=下面用导函数法对求和令只要看其中前的系数，令则即只要看中含的项显然为 ，再对求导可得中前的系数为. 原式分子=得解.说明：由于本题结论未知所以不能采用数学归纳法求解，这也是比较直白的数学归纳法的一个极大的弊端.个人感觉本题的导函数法需要进行一步系数的配凑才可以得到，如有更优的导函数法请告知.例题2. （2016连云港某地可能是赣榆模拟题）已知（1）若，求中含项的系数；（2）证明：（1）中项的系数为； （2）证法一母函数法（标答）设则函数中含项的系数为由错位相减法得：，中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 所以证法二求导积分赋值法： 下面用导函数法对令只要看其中前的系数，令则只要看中含的项显然为 ，再对求导可得中前的系数为. 原式=得解.证法三组合数公式法： 不再赘述，同例4可以有两种公式法.证法四数学归纳法： 略说明：本题出现于2016年江苏高考之前，可以看出本题与例4做法如出一辙，只是递推一下而已，因为结论已知所以难度降低，可以采用数学归纳法直白破解，从例4以及变题的标准答案可以知道母函数法或者求导积分赋值法是编制组合恒等式类题型的一种比较容易操作的技巧，通过对母函数的多种变化，我们可以考察特定项前的系数，亦可以对变量赋不同的值得到新的组合恒等式，让做题者用组合公式法较难把握，尤其是变量赋不同的之后恒等式证明难度陡增，如下题南京市一模卷，命制者应该就是这样操作的.例3.（2017南京盐城一模）设，.（1）求值： ；（）；（2）化简：.证法一组合数公式法当时. 故. 证法二导函数法当时，由二项式定理，有，两边同乘以，得，两边对求导，得，两边再同乘以，得，两边再对求导，得 令，得，即. 说明：本题一次求导再变形后进行二次求导再加以赋值充分体现了求导积分赋值法的精髓，是一道很优秀的模拟题，同上题一样本题同样不能以数学归纳法加以证明.【巩固练习】1.（2016南京二模）设(1x)na0a1xa2x2anxn，nN*，n2.(1) 设n11，求|a6|a7|a8|a9|a10|a11|的值；(2) 设bnak1(kN，kn1)，Smb0b1b2bm(mN，mn1)，求的值解：(1) 因为ak(1)kC，当n11时，|a6|a7|a8|a9|a10|a11|CCCCCC(CCCC)2101 024.(3分)(2) bkak1(1)k1C(1)k1C，(5分)当1kn1时，bk(1)k1C(1)k1(CC)(1)k1C(1)k1C(1)k1C(1)kC.(7分)当m0时，|1.(8分)当1mn1时，Sm1(1)k1C(1)kC11(1)mC(1)mC，所以|1.综上，|1.(10分)2. 在自然数列中，任取个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为 （1）求；（2）求；（3）证明，并求出的值（理解“新数列”含义，导出很重要，本题改编自第28届IMO古巴）（1）因为数列中保持其中1个元素位置不动的排列只有，所以； 2分（2） ； 4分（3）把数列中任取其中个元素位置不动， 则有种；其余个元素重新排列，并且使其余个元素都要改变位置，则有，6分故，又因为，所以， 8分令则且于是，左右同除以，得 所以 10分第三课时：较复杂的组合恒等式的证明【教学目标】1.掌握复杂的组合恒等式的证明方法，对算两次的思想充分理解.2.了解其他证明组合恒等式的方法（比如幂分解，赋复数值，递推累加），并会简单的应用.【教学过程】一、课堂引入同学们前面我们学习了怎样证明组合恒等式，会解决了一些组合数求值问题今天来学习更为复杂的组合恒等式的证明问题.二、例题精讲例题1. 苏北四市17届调研考试23题已知等式（1）求的展开式中含的项的系数并化简（2）证明：解析：（1）的展开式中含的项的系数为，由可知，的展开式中含的项的系数为所以（2）证法一组合数公式法（标答）：当时，所以由（1）知，即，所以 证法二母函数幂分解法：由可以知道左边的展开式中含项前的系数为右边的展开式中含项前的系数为 ，由（1）可知显然命题得证.说明：本题第二问方法二中通过原式两边乘以后将次幂拆开为，分别考察特定项前的系数，比标答更符合原题的本意，这也说明了对母函数的幂还可以拆开，算两次得到.17常州一模卷中将此类思想阐述的更为详尽.例题2.常州市2017届高三一模23题文：对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同的构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法。利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式。例如，考察恒等式，左边的系数为，而右边的系数为因此，可得到组合恒等式（1） 根据恒等式两边其中 （）的系数相同直接写出一个恒等式。（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：其中是指不超过的最大整数.解：（1） （2）证法一母函数法（标答）：考察等式=当且仅当为常数即等式左边的常数项为而等式右边的常数项为，所以成立.证法二母函数幂分解法：恒等式即两边的的系数，左边的系数为右边考察的系数，即要即应等于，即，即，所以为偶数，并且，即右边的系数为故原命题得证.说明：本题题文中说明了算两次的思想，能帮助学生更容易理解，第二问中用母函数法考察前的系数比考察常数更为契合题意.本题也很好的说明了对母函数的幂拆开后分别考察特定项从而得到组合恒等式的方法.另外组合恒等式还有一些其他特殊的题型比如南通市学科基地卷三上的一题，附在习题部分.例题3.其他方法.（1）证明：（赋复数值展开累加）（2）（递推累加法）（1）解由 分别令得，-（1）-（2）-（3） （1）+（2）+（3）易得原式得证。本题南通市也考过类似的模拟题，可以用赋复数值的方法来做.（2） 由得，若则即，累加即可得证.【巩固练习】1.证明：（幂分解）再比较两边展开式的的系数可以得到所以原式得证.2. 2017届扬州一模已知，其中是关于的