南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题4：平面向量

专题4：平面向量问题归类篇类型一：向量的运算一、 前测回顾1已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.答案：32 (1)已知向量a(0，2)，|b|2，则|ab|的取值范围是 (2)若a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是 (3) 已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_答案：(1)0,4； (2)0,1； (3) 903(1)已知向量a和向量b的夹角为135，|a|2，|b|3，则向量a和向量b的数量积ab_ (2)若向量a，b满足|a|3，|b|1，|a2b|，则向量a，b的夹角是 (3) 已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为_ (4)已知向量a(2，1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k等于_ _答案：(1)3； (2)； (3) ； (4)12ABCDE4(1)在ABC中，BAC120，AB2，AC1，点D是边BC上一点，DC2BD则 (2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD60，E为CD中点，则 (3)已知OA2，OB2, 0，点C在线段AB上，且AOC60，则_(4)在ABC中，BAC120，AB2，AC1，点D是边BC上一点，DC2BD，E为BC边上的点，且0则 ； 答案：(1)； (2)1； (3)4； (4), 二、方法联想1向量的运算方法1 用向量的代数运算方法2 结合向量表示的几何图形三、归类巩固*1已知平面向量a，b满足|b|1，且a与ba的夹角为120，则a的模的取值范围是 答案：（0，提示：结合向量的几何图形求解*2在等腰梯形ABCD中,已知AB平行于DC，AB2，BC1，ABC，动点E，F分别在线段BC，DC上，且，则的最小值为 . 答案：提示：数量积标示为的函数*3ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3， 则_.答案：提示：外心隐含着垂直关系类型二：形如xy等式中系数x，y值的确定1、 前测回顾1在ABC中，点，N满足2,若xy，则xy的值为答案：2平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，|2，|4，若，则的值为_答案：63已知在ABC中，为ABC的外心，AB16，AC10，xy，且32x25y25，则|等于_ 答案：10提示：由，可得，同理：，所以，所以|10二、方法联想方法1 通过平面向量运算，完成向量用，表示，进而确定x，y的值方法2 若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量等式xy，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x，y的方程，再进行求解方法3 若所给的图形比较特殊（矩形、正方形、正三角形、特殊梯形等），则可以建系将向量坐标化，从而得到关于x，y的方程，再进行求解三、归类巩固*1在ABC中，为边的中点，为的中点，过点作一直线MN分别交AB，AC于点M，N，若，则x4y的最小值是_答案：*2在ABC中，ABAC2， 1，是ABC的外心，若xy，则xy的值为_答案：类型三：平面向量的综合应用一、前测回顾1平面上的向量满足，且，若，则的最小值为_答案：2已知a，b是单位向量，且a，b的夹角为60，若向量满足|ca2b|2，则|c|的最大值为_答案： 3在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为 答案：二、方法联想方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决三、归类巩固*1在ABC中，已知BC=2，,则ABC面积的最大值是_答案:提示：以BC所在直线为x轴, 中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则点B(-1,0),C(1,0)。设点,则由条件得即故ABC面积的最大值是*2在平面内，定点A，B，C，D满足|，2，动点P，M满足|1，则|的最大值是_答案: 提示：采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时得到动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值*3在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是 答案：*4已知向量|a|1，|b|2，ab1，设向量c满足(2ac) (bc) 0，则c的最小值为 答案：1 *5已知四点共面，则的最大值为 答案：10综合应用篇一、例题分析例1 （1）已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c （2）已知向量a(2，1)，ab10，ab5，则b （3）若平面向量a，b满足ab1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b （4）在菱形ABCD中，若AC4，则 答案：（1）（ ， ）；（2）5；（3）（2，2）或（2，0）；（4）8教学建议一、主要问题归类与方法：1坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件2向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积3第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系二、方法选择与优化建议：1第（2）小题，方法1：设向量b的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(ab)的模长平方求出答案相对而言，方法2比较简单2第（3）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解本题可以抓住向量ab的两要素，先求出向量ab的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质3第（4）小题解法1：基底法，选择和与垂直的为基底；解法2：以AC、BD为两坐标轴建立直角坐标系例2 （1）已知正ABC的边长为1，73，则 （2）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12（1，2R），则12的值为_。（3）如图，在ABC中，BAC90，AB6，D在斜边BC上，且CD2DB，则的值为 ABDC（4）已知a，b是单位向量，ab0若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 答案：（1）2；（2）；（3）24；（4）1，1教学建议一、主要问题归类与方法：1三角形中研究边所在向量的数量积时，关注向量夹角的定义2将所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、减法的三角形法则，突出平面向量基本定理3可以关注一下向量数量积的几何意义（投影）4（4）求解的方法是画图或者建立直角坐标系用坐标法二、方法选择与优化建议：1第（3）小题的求解，坐标法优于基底法从图形的结构上发现便于建系2由于向量a，b是两个相互垂直的单位向量，用坐标法解题通俗易懂例3 （1）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3，BD1，则 （2）在平面直角坐标系xOy中，已知(3，1)，(0，2)若0，则实数的值为 （3）已知A（3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC60，则实数的值是 （4）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_.答案：（1）；（2）2；（3）；(4)22解析(4)由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.教学建议一、主要问题归类与方法：1解（1）小题可以是基底法（以和为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法2解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解理解向量共线的意义3平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解二、方法选择与优化建议：1解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知例4 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab（，R），则 ABCDEFP（2）如图，正六边形ABCDEF中，P是CDE内（包括边界）的动点设（、R），则的取值范围是 答案：（1）4；（2）3，4教学建议一、主要问题归类与方法：1问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解2解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法二、方法选择与优化建议：1解决这两题用坐标法优于基底法2选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易3第（2）小题坐标化后，转化为线性规划处理例5 (1) 如图，在ABC中，P是BN上一点，若m，则实数m的值为 (2) 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x ，y ABCPN第(1)题图(3) 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若xy，其中x，yR，则xy的最大值是_ _OABCm第(3)题图4560第(2)题图答案：(1)；(2) 1和；(3)2教学建议一、主要问题归类与方法：1平面向量的基本定理，向量的分解方法1：利用三角形法则，平行四边形法则以及向量共线定理方法2：利用平行四边形法则进行向量分解，借助解三角形的知识，再利用共线向量长度与方向的关系来求解方法3：建立坐标系，找出向量的坐标表示，再利用相等的向量坐标相等，列等式，通过解方程组求解。二、方法选择与优化建议：1第（1）小题，用方法1较方便，解题的关键是利用B，P，N三点共线，设，再利用基底表示的唯一性，求的值2第（2）小题，本题用方法2与方法3均可，但相比而言，方法3运算量较小3第（3）小题用方法2与方法3均可，关键是自变量的选择，方法2与方法3，都可选择AOC作自变量，来建立xy的函数关系，方法2要用到解三角形的知识，方法3用向量坐标间的关系即可，运算量要小些例6 (1)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_.(2)等腰ABC中，ABAC1，A120，E、F分别是边AB、AC上的点，且m，ABCEFMNn，其中m、n（0，1），且m4n1若EF、BC的中点分别为M、N，则|的最小值为 答案：(1)(，0)；(2)教学建议(1)主要问题归类与方法：1几何图形中的向量关系与计算问题 方法1：基底法，选择适当的基底，把所研究的向量用基底表示； 方法2：坐标法，建立适当的坐标系，找到图形中各点的坐标，从而求出各向量的坐标 (2)方法选择与优化建议：1解决这类问题的基本方法是：（1）基底法；（2）坐标法第(1)题用基底法，方便，第(2)题的两种解法总体难度相当，坐标法相对比较好想一点2第(1)题中，显然选择与作为基底，因为动点O在线段CD上，可设(01)，将用基底表示，利用基底表示的唯一性，列出关系式(用表示x)，从而求出x的范围；3第(2)题用基底法与坐标法均可基底法难点是用基底、来表示，构造三角形AMN，将向量放在AMN中研究，这种方法最为简洁，这种做法是基于M、N分别为EF、BC的中点，有一个向量公式，很容易将和用基底向量来表示()( mn)，()在接下来对目标函数进行消元变形的过程中，关注计算的理性化用坐标法的难点是如何利用条件将E、F两点的坐标表示出来需要结合平面几何中平行线分线段成比例的等一些基本性质4关注对目标函数消元变形的理性思维，达到简化运算的目的二、反馈巩固*1（1）在平行四边形ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_（用a，b表示）答案：ab（2）在ABC中，2，mn，则 答案：说明：考查向量的几何运算*2（1）设(2，3)，且点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为 答案：(3，5) （2）已知向量(，)，(，) ，则ABC_答案:30（3）已知向量a(2，3)，b(x，6)，且ab，则x= 答案：4（4）已知向量a(x5，3)，b(2，x)，且ab，则由x的值是 答案：2（5）设向量a(1，2)，b(2，1)，则(ab)(ab)等于 答案：(4，4) （6）已知(5，4)与(3，2)，则与23平行的单位向量为 答案：说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式*3（1）若|a|3，| b |2，且a与b的夹角为60，则|ab | 答案：（2）若|a|1，| b |2，a与b的夹角为60，若(3 a5 b)(m ab)，则实数的值为 答案：(3)若b（cos，cos），|a|2|b|，且(ab)b2，则向量a，b的夹角为_.答案：提示：b2cos2cos2cos2sin21，所以|b|1，|a|2.由(ab)b2，可得abb22，故ab，故cosa，b. 所以a，b.（4）已知平面上三点A，B，C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则的值等于 答案：25说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示*4（1）设a、b、c是单位向量，且abc，则ac的值为 答案：（2）若向量a，b满足|a|3，|b|1，|a2b|，则向量a，b的夹角是 答案：；ABCDMNO（3）如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点若OA=6，则的值是 答案：26xyABO1（4）函数ytan(x)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1则() 答案：6说明：考查向量数量积 *5（1）已知向量a(1，2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c （2）已知向量a(2，1)，ab10，ab5，则b （3）平面向量a与b的夹角为60，a(2，0)，|b|1，则|a2b| （4）在菱形ABCD中，若AC4，则 答案：（1）（ ， ）；（2）5；（3）2（4）8说明：考查向量的坐标运算*6在ABC中，a，b，c，且|a|1，|b|2，|c|，则abbcca_.答案：4说明：考查向量数量积，勾股定理逆定理.*7在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1，那么c_.答案：说明：考查向量数量积，正余弦定理.*8.设向量，其中，若，则 . 答案：说明：考查向量数量积，两角和与差的三角函数.*9（1）已知正ABC的边长为1，73，则 答案：2；（2）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则_.答案：解析：2，圆O的半径为1，|，()()2()()201.（3）在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于 答案： DCAB如图（4）如图，在四边形ABCD中，|4，|4，0，则()的值为 答案：4说明：考查向量几何表示的运算*10在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为_答案：说明：考查向量与三角函数的结合*11已知，|，|t ，若P点是ABC所在平面内一点，且， 则 的最大值_答案：13解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号说明：考查平面向量数量积以及基本不等式*12.(1)函数ytan(x)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1则() (2)在ABC中，BAC120，AB2，AC1，点D是边BC上一点，DC2BD，E为BC边上的点，且0则 ； (3)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E是BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 xyABO1ABECFD答案：（1）6；（2），；（3）；说明：考查向量数量积. *13已知ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足0，0，则的最小值为_答案：3说明：考查向量数量积. *14已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R，若，则_.答案：说明：考查向量共线，数量积.*15在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P是AM上一动点，则()的最小值等于 答案：说明：考查平面向量数量积，利用不等式求最值问题*16在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案：1说明：考查平面向量的坐标表示，平面几何图形的性质*17 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值答案：(1) 2； （2）mnxy，mn的最大值为1.说明：考查向量与线性规划的结合*18在等腰梯形ABCD中,已知AB/CD，AB2，BC1，ABC60,