重庆南开中学2020届高三文科数学3月试卷含答案

1 重庆南开中学高 2020 级高三（下）3 月考试 数学试题（数学试题（文文科）科） 注意事项： 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合要求，答案 请涂写在答题卡上 1.复数 42i 1 i z = + （i为虚数单位）的虚部为（ ） A1 B3 C1 D2 2 “a1”是“函数( ) |f xxa= 在区间1,)+上为增函数”的（ ） A.充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔令人吃 惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”。如胡夫金字塔的底部 周长如果除以其高度的两倍，得到的商为 3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值。金字塔底部形为正 方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约 230 米。因年久风化，顶端剥落 10 米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A.128.5 米 B.132.5 米 C.136.5 米 D.110.5 米 4.已知 1 sin 63 += ，则 2 cos2 3 = （ ） A 1 5 B 2 3 C 7 9 D 5 9 5.已知在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且sinA=2sinB，acosB+bcosA=2，2 2a =，则 ABC面积为（ ） A. 5 2 B. 6 2 C. 7 2 D. 2 6.若x，y满足约束条件 0 23 23 x xy xy + + ，则zxy=的最大值为M，最小值为m，则Mm=（ ） A0 B 3 2 C3 D3 2 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则该几何体的体积为（ ） A. 42 B. 45 C. 46 D. 48 8.已知向量AB（ 51 7 ， 68 7 ） ，AC（ 6 7 ， 8 7 ） ，D，E 是线段 BC 上两点， 且满足BD 1 5 BC，CE 1 3 CB，则AD与AE的关系是（ ） AAD2AE BAD 1 2 AE CADAE DAD与AE成 60夹角 9.已知函数( )cos 3 x f x =,根据下列框图,输出 S 的值为( ) A670 B 1 670 2 C671 D672 10.奇函数 f(x)在 R 上存在导数( )fx ， 当 x0 时( )( ) 2 fxf x x ， 则使得(x21)f(x)0 成立的 x 的取 值范围为（ ） A(1，0)(0，1) B(，1)(0，1) C(1，0)(1，) D(，1)(1，) 11. 在ABC中，sin 3 sin2 B C =，60BAC=，D是BC的中点. 若AEEC=， 且ADBE， 则实数= （ ） A. 7 5 B. 7 12 C. 4 3 D. 4 7 12.如图，在底面边长为 4，侧棱长为 6 的正四棱锥 PABCD 中，E 为侧棱 PD 的中 点，则异面直线 PB 与 CE 所成角的余弦值是（ ） A 34 17 B 2 34 17 C 5 17 17 D 3 17 17 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位 置（只填结果，不写过程）. 13.已知集合 2 60Ax xx= ，2Bx x=，则AB = 14.已知数列 n a的前 n 项和为 Sn，若 1 22 + = n n S，则= n a _. 15.已知椭圆1 2 2 2 =+ y a x 的左、 右焦点为 F1， F2， 点 F1关于直线yx= 的对称点 P 仍在椭圆上， 则PF1F2 的周长为_. 3 16.把函数sin2yx=的图象沿x轴向左平移 6 个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）后得到 函数( )yf x=的图象，对于函数( )yf x=有以下四个判断： 该函数的解析式为2sin(2) 6 yx =+； 该函数图象关于点(,0) 3 对称； 该函数在0, 6 上是增函数； 若函数( )yf xa=+在0, 2 上的最小值为 3，则 a2 3. 其中正确判断的序号是_ 三解答题（共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必 考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 ） （一）必考题：共 60 分 17.某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每 日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件开始，计件工资每件5 元 该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据 将样本数据分为)25,35，)35,45，)45,55，)55,65， )65,75，)75,85，85,95七组，整理得到如图3所示的频率分布直方图 （1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件 的概率； （2） 若甲、 乙选择了日工资方案一， 丙、 丁选择了日工资方案二 现 从上述4名工人中随机选取2人求至少有1名工人选择方案一的 概率； （3） 若仅从人均日收入的角度考虑， 请你利用所学的统计学知识为 新聘工人做出日工资方案的选择， 并说明理由 （同组中的每个数据 用该组区间的中点值代替） 18.如图，在正三棱柱 111 ABCABC中，4AB =， 1 10BB =，D，E分别是线段 1 BB， 1 AC的中点 （1）求证：DE平面ABC； （2）求三棱锥ADCE的体积 19.已知首项为 2 的数列 n a满足 1 1 22 1 n n n na a n + + + = + （1）证明：数列 2 n n na 是等差数列; （2）令 nn ban=+，求数列 n a的前n项和 n S. 4 20.已知抛物线() 2 :20C xpy p=， 过焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点， 且当直线l倾斜角 为45时，与抛物线相交所得弦的长度为8 （1）求抛物线C的方程； （2）若分别过点A，B两点作抛物线C的切线 1 l， 2 l，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称 点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明 理由 21.已知函数( )()ln11f xxxax=+，aR （1）求函数( )fx的单调区间和极值； （2）若方程() ( )1 21120 f x aax xx += 有三个解，求实数a的取值范围 （二）选考题：共 10 分请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡相应题号处填涂， 如果多做，则按所做的第一题计分 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系中，曲线 1 C的参数方程为 += = sin2 cos y x （为参数） ，以O为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4 20 4 +=. （1）将曲线 1 C上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线 2 C，求 2 C的参数方程； （2）若,M N分别是直线l与曲线 2 C上的动点，求|MN的最小值. 23. 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知( ) |1|1|f xxax=+,( ) |1| 2g xx=+ （1）若 1 2 a =,求不等式( )2f x 的解集； （2）设关于x的不等式( )( )f xg x的解集为A，若集合(0,1A，求a的取值范围. 5 重庆南开中学高 2020 级高三（下）3 月考试 数学试题（数学试题（文文科）科）参考答案参考答案 1.【解析】 ()()42i1 i42i 1 3i 1 i2 z = + ，所以z的虚部为3故应选 B 2A 3.【解析】胡夫金字塔原高为h，则 230 4 3.14159 2h = ，即 230 4 146.4 2 3.14159 h = 米， 则胡夫金字塔现高大约为 136.4 米故选 C 4.【解析】由题意，可得 2 cos2 3 2 cos 2 3 = cos2cos 2 36 = += + 2 2 17 2sin121 639 =+ = = 5.【解析】由题意知 所以 222 3 cos 24 abC C ab + =,所以, 6.当1x =， 1y =时有最大值0M =，当0 x =，3y =时有最小值为 3m=，所以3Mm= 7. C 8.A【解析】 + ( )= + = + ( )=(6,8), = +=+ ()=+=+ ()=(3,4),所以=2故选 A 9.C：由程序框图知：第一次运行； 第二次运行； 第三次运行； 第四次运行； 第五次运行； 6 第六次运行； 直到时，程序运行终止，函数是以为周期的周期函数， ，又，若程序运行次时，输出， 程序运行次时，输出故选 C 10.C【解析】因为当 x0 时，f(x)- f(x)，即 ( )( )20f xxfx + ，令 g(x)=x f(x)，则 g(x)定义域为 R， 是奇函数，当 x0，当 x0 时，g(x)0，f(x)0，所以当 x0 时，(x2-1)f(x)0 等价于 x - 10，解得-11. 综上，x的取值范围是( 1,0)(1,)+.答案：C 11.A 12.D 如图，取 PA 的中点 F，AB 的中点 G，BC 的中点 H，连接 FG，FH，GH，EF，则 EF/CH，EF=CH， 从而四边形 EFHC 是平行四边形，则 EC/FH，且 EC=FH.因为 F 是 PA 的中点，G 是 AB 的中点，所以 FG 为ABP 的中位线，所以 FGPB，则GFH 是异面直线 PB 与 CE 所成的角.由题意可得 FG=3，HG= AC= .在PCD中.由余弦定理可得 222 3636 167 cos 22 6 69 PDPCCD DPC PD PC + = 则,即 CE=.在， 由余弦定理可得 222 9 1783 17 cos 2172 317 FGFHGH GFH FG FH + = . 13. 2,3 14. n 2 .【解析】 ()2222222 1 1 1 += + nSSaS nn nnn n n . 当 n=1 时，2 11 = Sa满足通项公式，故答案为 n n a2=. 15. 222+ .【解析】设 F1（-c，0） ，F2（c，0） （c0） ，F1关于直线 y=-x 的对称点 P 坐标为（0，c） ，点 P 在椭圆上，则 1 0 2 2 =+c a ，则 c=b=1， 2 222 =+=cba ，则 2=a ， 故PF1F2的周长为 22222 2121 +=+=+caFFPFPF. 16._ 17 【解析】 （1）设事件A为“随机选取一天，这一天该工厂的人均生产量不少于 65 件”， 依题意，该工厂的人均生产量不少于 65 件的频率分别为：0.2，0.15，0.05， ( )0.20.150.050.4P A =+= （2）设事件B为“从 4 名工人中随机选取 2 人，至少有 1 名工人选择方案一”， 从 4 名工人中随机选取 2 人，有 6 种情况， 7 其中至少有 1 名工人选择方案一的情况有 5 种情况，( ) 5 6 P B = （3）由频率分布直方图可知：该工厂的人均产量的平均数为： 30 0.05 40 0.05 50 0.2 60 0.3+70 0.2 80 0.15 90 0.0562+= 方案一平均工资约为：50 62 3236+ =， 方案二平均日工资约为：()10062445190+= 可知方案二平均工资低于方案一平均日工资故新聘工人应选择方案一 18 【解析】 （1）取AC中点为H，连接HE，BH， 1 BDCC， 1 1 2 BDCC=， 1 HECC， 1 1 2 HECC=， HEDB是平行四边形，HBDE，HB平面ABC，DE 平面PAD， DE平面ABC （ 2 ）E是 线 段 1 AC中 点 ， 则 1 1 2 A DCEE ACDCACD VVV = 1 111120 3 2 3 10 4 22323 A CDC V = 19 （1）证明：因为，所以 所以，从 因为，所以 ,故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列 （2）解：由（1）可知，则 因为，所以 则 2312 2(12 )(1)11 (2222 )(123)22 12222 n nn n n nnn + + =+=+=+ 20 （1）由题意知0, 2 p F ，设直线的方程为 2 p yx=+， 设直线与抛物线交于() 11 ,M x y ，() 22 ,N xy ，由 2 2 2 xpy p yx = =+ 得： 2 2 30 4 p ypy+=， 所以 12 3yyp+=又由 12 8MNyyp=+= ，所以2p =， 所以抛物线的方程为 2 4xy= （2）四边形PAQB存在外接圆设直线AB方程为1ykx=+， 代入 2 4xy=中，得 2 440 xkx= ，设点() 11 ,A x y ，() 22 ,B xy ，则 2 16160k =+ ， 且 12 4xxk+=， 12 4x x = ，所以 () 22 12 141ABkxxk=+=+， 因为C： 2 4xy=，即 2 4 x y =，所以 2 x y = 因此，切线 1 l的斜率为 1 1 2 x k =，切线 2 l的斜率为 2 2 2 x k =， 由于 12 12 1 4 x x k k = ，所以PAPB，即PAB是直角三角形， 所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是圆的直径， 8 所以点Q一定在PAB的外接圆上，即四边形PAQB存在外接圆 又因为() 2 41ABk=+，所以当 0k =时，线段AB最短，最短长度为 4， 此时圆的而积最小，最小面积为4 21.（1）( ) lnfxxa=，令ln 0 xa=，解得 a xe= ， 当0 a xe 时，( )0fx ；当 a xe ，( )0fx 所以函数( )fx的单调递减区间是()0, a e，单调递增区间是( ) , a e+， 所以( )fx的极小值为()1 aa f ee= ，无极大值 （2）设( )() ( )1 2112 f x h xaax xx =+ ， 即( )() 2 21 ln2 a h xaxx x =+，( ) 2 212 1 aa h x xx =+ () 2 2 212xaxa x + = ()() () 2 12 0 xxa x x + = 若0a，则当()0,1x时，( )0hx ，( )h x单调递减；当()1,x+时，( )0hx ， ( )h x单调递增，( )h x至多有两个零点 若 1 2 a = ，则()0,x+，( )0h x （仅( )10 h =） ，( )h x单调递增，( )h x至多有一个零点 若 1 0 2 a，则021a，当()0, 2xa或()1,x+时， ( )0hx ，( )h x单调递增；当()2 ,1xa 时，( )0hx ，( )h x单调递减， 要使( )h x有三个零点，必须有 () ( ) 20 10 ha h 成立，由( )10h，得 3 2 a ， 这与 1 0 2 a矛盾，所以( )h x不可能有三个零点 若 1 2 a ，则21a，当()0,1x或()2 ,xa +时，( )0hx ，( )h x单调递增； 当()