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文档简介

1,第四节格林公式及其应用(2),二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,2,定理2.设D是单连通域,在D内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,注：两个前提条件缺一不可,3,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),4,证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,5,证明(3)(4),设存在函数u(x,y)使得,则,P,Q在D内具有连续的一阶偏导数,从而在D内每一点都有,6,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,7,说明:,根据定理2,若在某区域内,则,2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,8,例1.计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,9,例2.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,。,。,10,例3.验证,在右半平面(x0)内存在原函,数,并求出它.,证:令,则,由定理2可知存在原函数,11,或,12,内容小结,1.格林公式,2.等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲线L有,在D内有,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,13,思考与练习,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,14,2.设,提示:,15,3.设C为沿,从点,依逆时针,的半圆,计算,解:添加辅助线如图,利用格林公式.,原式=,到点,16,4.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到,点B
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