《李群的概要》PPT课件.ppt

1.4变换李群的无穷小算符,设n维欧氏空间中坐标变换的总体构成变换李群G，其中：在上式变换下，n维欧氏空间中任一函数(x)的变换为上式可看作函数变换算符PR的定义因为空间同一点的函数值不变，故其中省去带撇号：其中为变换R的逆元素的参数,对于无穷小变换，k为无穷小，引入r个无穷中小算符：则原式为：因为(x)是任意的，故投影算符Zk变换李群的无穷小算符，它的个数等于李各的阶数。,-(*),可以证明：李群的无穷小算符的对易式可表为该群的无穷小算符的线性组合，并且同李群的生成元一样，满足同样的对易式。其中为李群结构常数。,-(),ex.1（r=2,n=1）当时是恒等变换，故在随近展开。其中：对易式：满足前页（）式。,ex.2二维转动群SO（2）它是单参数，r=1,只有一个无穷小算符。据定义：令这是角动量Z分量算符（=1）,ex.3单位元：1=4=1,2=3=0在此附近展开对易关系：同理：,x1=x,x2=y,令a=i3/2,b=2/2+i1/2,ex.4求SU(2)群的无穷小算符和对易关系SU(2)，U=（有三个独立参量，a,b是复数）,a,b很小,同理：同理可以验证同理这个李代数称为A1,ex.5三维转动变换SO(3)实空间中的无穷小转动为其中ij为无穷小参数，由于正交性，则可知：ij仅有三个独立参数,设证：J1，J2，J3正是量子力学中的角动量算符，它们的对易关系：,1.5有限群元的生成,群G生成元是在=0附近求得的，它反应了整个G的性质,证明：在g(0)附近g()当并不很小时而很大时。在,g(0),g(),群空间,分成N段,此算子使g(0)变到g(/N),令N,ex.1SO(2)群元素定轴转动无穷小生成元令，则,完全决定了g()，即由g()得到的决定g(),根据李群的无穷小算符，来导出相应的函数变换PR。在变换李群的无穷小变换R下，函数变换算符为其中Zk为变换李群的无穷小算符当k不很小时，亦可将其分为N等分,对多参数李群，如SO(3)，可以求出绕x,y,z轴分别转1，2，3角的转动算符:,绕空间任意方向(方位角,)，转过角的转动算符，可表为；这是因为：取则=(123)为正则参数如选欧拉(Euler)角,为SO(3)群参数。相继施行三个转动，则这是因为JxJyJz三个分量是不可对易缘故。欧拉角,为非正则参数,1.6不变积分李群的表示,1.61不变积分,在有限群中，群G上的函数f(A)(AG)具有下列求和不变式：（根据是有限群中各元素R都具有同样的权重weightfs)其中B为G中任意元素。对于李群(无限群)，是否也有相应的不变式呢？首先，应将上面求和改为对群参数的积分，并且必须引入权重函数:r群为的阶这样使得群上函数f(R)的积分在参数的变换下保持不变：上式即为不变积分,（*）,R为任意元素,一般来说，上式成立是有条件的，可以证明：定理：对于紧致李群，可求得这样的权函数，使不变积分（*）存在。ex.SO(3)用欧勒角,，作参数时，权函数为：,1.62密度函数（权函数）设有参数空间群元素：现将群元素R平移:其中：i.e.,平移不变性要求：,比较上式左右得：or:简记作：将单位元素取作基准元素R(a)这样（这时R(a0)已同群元数无关）例：其又例：,于是就有：再将则：其中：,ex.1变换群等密度在该群上的不变积分为：这是真接应用公式，如不用公式直算，则更直观：,首先：,另一方面：取则I=II，为不变积分实际上，上面不变积分即为其中c为任意实常数，的积分限即为参数全空间。,令,ex.2变换群解：在群上的不变积分为：,常量（对a积分时）,另一解法，令在群上的不变积分为,（即）,对积分时，它是常量,ex.3变换群：群上不变积分为：,定理：在紧致无限群的情况下,1.63李群的表示Def.1如果存在非奇异的l阶矩阵集合D(G)，它同给定李群G同构或同态，则称D(G)为李群G的一组l阶线性表示。一般说来，D(G)也是一个李群，表示的阶l可以是有限的，D(G)的个数也为无穷多个。Def.2若有一组基底，使表示的所有矩阵都取如下形式：则此表示称为可约表示。如果上式中Y(G)对RG均为零，那么这表示称为完全可约的。,有限群的线性表示等价于么正表示，因此，总可通过相似变换，使D(R)化为么正表示，从而Y(R)=0。所以有限群的可约表示必定是完全可约的，但对于李群，这个结论不一定对。,ex.一维平移群（非紧致群）可以找到一组基函数在平移变换下，基函数变为：在这组基函数下，该平移群的一个二维表示为：它是可约的，但由于找不到一个相似变换使它对角化，所以它不是完全可约的。,定理：(对于紧致李群)有限群表示论中的结论都可以移置到紧致李群中来例如：不可约么正表示的矩阵元有正交关系：其中nj为D(j)的维数，j:为某独立的表示。,1.64李群表示的生成元设D(G)为李群G的一个表示，其表示矩阵D()可用r个参数k(k=1,2，r)来表示，即设单位阵（对应于李群的单位元素）的参数为零，当很小时其中r个矩阵称为李群G的表示D(G)的生成元。由Xk可求出群中任意元素R在表示D(G)中的表示矩阵D(G)，其步骤同群元素生成元可求任意群元素一样。,李氏第一定理：简单李群（即群空间是连通的）的线性表示完全由它的生成元决定。,非奇异矩阵（detA0）的全体按照一般的矩阵乘法显然构成一个李群。以nn的非奇异矩阵为例：封闭性：矩阵之积为矩阵单位元素：单位矩阵逆元素：非奇异矩阵总有逆矩阵存在，（矩阵代数）组合律：矩阵的乘法遵从组合律(AB)C=A(BC)解析性：nn非奇异矩阵为n2参量矩阵，参量就是n2个矩阵元，当矩阵相乘时：参数之间的函数关系显然为解析函数,1.7矩阵群,1.71一般线性群GL(n)（GeneralLinearGrasp）这是表示n维空间上的线性变换的最一般的矩阵，除了要求矩阵行列式不能为零（非奇异）之外，没有其他附加条件。（i=1,2n）注意：GL(n)群不是紧致（致密）群。两种情况：显然，（实包含在复之内）,1.72特殊线性群(么模群)SL(n)(SpecialLinearGroup)（i=1,2,n）特征：有两种情况：个参量个参量显然若以C表示复数乘法群（除0以外的复数对乘法所构成）若以R表示实数乘法群（除0以外的实数对乘法所构成）则有：,ex.GL(2)单位元素：逆元素：乘积元素：矩阵乘积,1.73么正群U(n)(UnitaryGroup)(i=1,2,n)or么正：自动保证det0即么正条件即约束条件：i.e当j=j时共n个(只有实部)当jj时共个(分虚实两部)故共有约束条件个参量数：,ex.U(2)得约束条件：共有4个（22）约束条件。另外，满足条件：的线性变换群记作U(p,g)，显然U(n,0)=U(0,n)=U(n),1.74特殊么正群（么模么正群）SU(n)i.e.参量数=n2-1由+=I得|det|2=1，即det=eiaa为任意实数，而么模条件“det=1”要求a=0。这就是一个限制条件，而不是两个，数量参量数为n2-1，而不是n2-2，因为det=1只增加1个限制条件，而不是两个，尽管是复数。,1.75正交群O(n)与特殊正交群SO(n)（i=1,2,n）正交条件即则有约束条件：i,e.当j=j时（j=1,2,n）共n个当jj时（j,j=1,2,n;jj）共个,参量数i)O(n,C)有参量个ii)O(n,R)有参量个这样，的变化域分成两det=+1与det=-1两个互不连接的叶，而不能从一个叶连续地变到另一个叶。O(n)群是不连通的det=+1的子区域（叶）包含单位矩阵I，它组成O(n)的一个不变子群SO(n)（i.e么模正交群）在物理上，SO(4)群同构于洛伦茨群而且其商群，同构于离散的二阶群例如反演群E,而,在这里要注意：么模条条件是从两个连通区选出一个来，它由正交条件自然地引伸出来，并不是额外附加的约束，因此，比起O(n)来，SO(n)的参量数并未减少，这是正交群异于么正群的一点，此外，显然有满足条件的线性变换群（矩阵群）记作O(p,g),若再加上么模条件，则为SO(p,g)。SO(1,3)就是著名的Lorentz群,1.76率群Sp(2n)Def.1对于N维线性空间中的矢量作非退化的（non-degenerate）双线性型：其中度规张量矩阵为斜反对称的：对角线上元素为零则该双线型称为矢量与的斜积（showproduct）记作：（gki=-gik）,Def.2对于N维线性空间中各矢量进行线性变换：若矢量的斜积在变换下不变：则要求这样的变换的全体所构成的群称为率群，记作Sp(N)由于为斜反对称的，故有detG=(-1)NdetG当N为奇时，detG=0，即G为奇异矩阵。由此可知。仅当N=2n（偶数）时，才能定义SP(2n),率坐标基我们可以在这个2n维空间中选取一组适当的基，使得斜积具有简单的规范形式。首先，取一个任意的非零矢量作为第一个基，其次，取一个使的（这是可能的，因为斜积为非退化的）并乘上一个适当的常数因子后作为第二个基，使得于是，这两个基满足下列条件：例：二维：,而且由于gki=-gik，而且为线性独立的。,证：假如不线性独立，则必有则同理必定是线性独立的。在这2n维空间中，满足条件的矢量全体构成一个（2n-2）维的子空间，整个2n维空间中任何一个矢量都可表示为式中,对于上述（2n-2）维子空间，继续进行上述手