2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明阶段性测试题二 新人教A版选修2-2

第二章推理与证明(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()a归纳推理是由一般到特殊的推理b演绎推理得出的结论一定是正确的c类比推理是由特殊到特殊的推理d演绎推理是由特殊到一般的推理答案：c2三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理()a大前提错误b小前提错误c推理形式错误 d.是正确的答案：a3若snsinsinsin(nn*)，则在s1，s2，s100中，正数的个数是()a16b72 c86d.100解析：由题意可知，s13s14s27s28s41s42s97s980，共14个，其余均为正数，故共有1001486个正数答案：c4用数学归纳法证明“5n 2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用假设，应将5k12k1变形为()a(5k2k)45k2kb5(5k2k)32kc(52)(5k2k)d2(5k2k)35k解析：5k12k15k52k25k52k52k52k25(5k2k)32k.答案：b5“平面内一动点p到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点p的轨迹为椭圆”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：由椭圆定义可知当平面内一动点p的轨迹为椭圆时有平面内一动点p到两个定点的距离的和为常数，反之不成立，所以是必要不充分条件答案：b6类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：s(x)axax，c(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)；s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)；2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)；2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)abcd.解析：s(x)axax，c(x)axax，s(y)ayay，c(y)ayay，s(x)c(y)(axax)(ayay)axyaxyaxyaxy，c(x)s(y)(axax)(ayay)axyaxyaxyaxy，s(x)c(y)c(x)s(y)2(axyaxy)2s(xy)，s(x)c(y)c(x)s(y)2(axyaxy)2s(xy)正确答案：b7由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()a各正三角形内任一点b各正三角形的某高线上的点c各正三角形的中心d各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面(侧面)，所以边的中点对应正四面体的各正三角形的中心答案：c8用数学归纳法证明不等式“(n2)”的过程中，归纳递推由nk到nk1时，不等式的左边()a增加了一项b增加了两项c增加了两项，又减少了一项d增加了一项，又减少了一项解析：当nk时，不等式的左边为，当nk1时，不等式的左边为，对比两个式子，可知由nk到nk1，不等式的左边减少了一项，增加了两项，故选c.答案：c9若p ，q(a0)，则p，q的大小关系是()apq bpqcpq d.由a的取值范围决定解析：p2q222220，pq.答案：c10(2019成都外国语学校高二考)将石子摆成如图所示的梯形形状称数列5,9,14,20，为“梯形数”根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 0165()a2 0182 014 b2 0182 013c1 0102 012 d.1 0112 015解析：an5表示第n个梯形有n1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n2个an5，a2 01652 0151 011.答案：d11用反证法证明：若ab0，则2a2b的假设为()a.2a2b b2a2bc.2a2b d.2a2b答案：c12设函数fn(x)是fn(x)的导函数，f0(x)ex(cos xsin x)，f1(x)，f2(x)，fn1(x)(nn*)，则f2 018(x)()aex(cos xsin x) bex(cos xsin x)cex(cos xsin x) d.ex(cos xsin x)解析：f0(x)ex(cos xsin x)，f0(x)ex(cos xsin x)ex(sin xcos x)2excos x，f1(x)excos x，f1(x)ex(cos xsin x)，f2(x)ex(cos xsin x)，f2(x)ex(cos xsin x)ex(sin xcos x)2exsin x，f3(x)exsin x，f3(x)ex(sin xcos x)，f4(x)ex(cos xsin x)，f4(x)2excos x，f5(x)excos x，f6(x)ex(cos xsin x)，f7(x)exsin x，f8(x)ex(cos xsin x)，故周期t8，f2 018(x)f2(x)ex(cos xsin x)，故选b.答案：b第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制(分为a，b，c三个层次)，得a的同学直接进入第二轮考试从评委处得知，三名同学中只有一人获得a.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得b或c；乙说：我肯定得a；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得a的同学是_解析：由甲与丙的观点一致，而三人中，只有一人预测不准确，故而甲、丙预测准确，而乙预测不准确，所以得a的同学为甲答案：甲14已知圆的方程是x2y2r2，则经过圆上一点m(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为_.解析：圆的性质中，经过圆上一点m(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用m(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换故可得椭圆1类似的性质为：经过椭圆1上一点p(x0，y0)的切线方程为1.答案：经过椭圆1上一点p(x0，y0)的切线方程为115如图所示，坐标系上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an(nn*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，请归纳，则a2 017等于_解析：由题意知，a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，a93，a105，a113，a126.观察可得奇数项均为点的横坐标，a2 017是第1 009个奇数，在y轴右边，可得a2 017505.答案：50516观察下列各式：11,1，1，1，由此可猜想，若1m，则m_.解析：观察各式右侧的结果：1，推测第n个等式的右侧结果为，1，m.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)设m为实数，用三段论证明方程x22mxm10有两个相异实根证明：一元二次方程中的判别式0，则方程有两个相异实根，(大前提)又方程x22mxm10中的4m24(m1)4(m2m1)40，(小前提)方程x22mxm10有两个相异实根18(12分)(2019吉林省实验中学高二期中)点p为斜三棱柱abca1b1c1的侧棱bb1上一点，pmbb1 交aa1于点m，pnbb1交cc1于点n.(1)求证：cc1mn；(2)在任意def中有余弦定理：de2df2ef22dfefcos dfe.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明解：(1)证明：因为pmbb1，pnbb1，又pmpnp，所以bb1平面pmn，所以bb1mn.又cc1bb1，所以cc1mn.(2)在斜三棱柱abca1b1c1中，有s2abb1a1s2bcc1b1s2acc1a12sbcc1b1sacc1a1cos .其中为平面bcc1b1与平面acc1a1所成的二面角证明如下：因为cc1平面pmn，所以上述的二面角的平面角为mnp.在pmn中，因为pm2pn2mn22pnmncosmnp，所以pm2ccpn2ccmn2cc2(pncc1)(mncc1)cos mnp，由于sbcc1b1pncc1，sacc1a1mncc1，sabb1a1pmbb1pmcc1，所以s2abb1a1s2bcc1b1s2acc1a12sbcc1b1sacc1a1cos .19(12分)如图，正方形abcd所在平面与三角形abe所在平面互相垂直，且em2md，ab3an，(1)求证：mn平面bec；(2)若h是eb边上的点，且aheb，求证：bedh.证明：(1)如图，在ce上取一点f，使ef2fc，连接fb、mf.由题意知，em2md，mfcd，且mfcd，又已知正方形abcd中，ab3an，bncd且bncd，mfbn且mfbn，四边形bnmf为平行四边形，mnbf，又mn平面bec，bf平面bec，mn平面bec.(2)平面abcd平面abe，平面abcd平面abeab，ad平面abcd，adab，ad平面abe，be平面abe，adbe，beah，adaha，ah平面ahd，ad平面ahd，be平面adh，dh平面adh，bedh.20(12分)请你把不等式“若a1，a2是正实数，则有a1a2”推广到一般情形，并证明你的结论解：推广的结论：若a1，a2，an都是正数，则a1a2an.证明：a1，a2，an都是正数，a22a1；a32a2；an2an1；a12an，上式相加得a1a2an.21(12分)已知实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明：假设a，b，c，d全不是负数abcd1，a，b，c，d0,1ac，bd，acbd1，这与已知acbd1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a，b，c，d中至少