2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第二课时 用空间向量解决垂直关系练习 新人教A版选修2-1

第二课时用空间向量解决垂直关系课时跟踪检测一、选择题1已知平面的法向量n(1,2，2)，平面的法向量m(2,3，k)，若，则k的值为()a2b4c1d解析：由题意，得mn0，262k0，得k2.答案：a2在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则pa与底面abcd的关系是()a相交 b垂直c不垂直 d成60角解析：因为0，0，所以ap平面abcd.答案：b3若n(1，2,2)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是()a(1，2,0) b(0，2,2)c(2，4,4) d(2,4,4)解析：(2，4,4)2(1，2,2)2n，(2，4,4)与n平行，故可作为平面的法向量答案：c4(2018保定高二检测)若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()abc，相交但不垂直d以上均有可能解析：cosn1，n20，且cosn1，n21，与相交但不垂直答案：c5在正方体abcda1b1c1d1中，若e为a1c1的中点，则ce垂直于()aac bbdca1d daa1解析：建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，设正方体的棱长为1，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，e，b(1,1,0)则(1,1,0)，00，.dbce.答案：b6已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()a3 b6 c9 d9解析：由题意，知uv，所以uv0，即36z0，解得z9.答案：c二、填空题7已知abc是以b为直角顶点的等腰直角三角形，其中(1，m,2)，(2，m，n)(m，nr)，则mn_.解析：由题意，知02m22n0，|1m244m2n2，由，解得mn1.答案：18已知点a，b，c的坐标分别为(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，点p的坐标为(x,0，z)，若，则_.解析：(x,1，z)，(1，1,1)，(2,0,1)，则由，可得.答案：9已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：apab；apad；是平面abcd的法向量；apbd.其中正确的是_解析：(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，2(1)(1)2(4)(1)0，apab，故正确；4(1)220(1)0，apad，故正确；由知，是平面abcd的法向量，正确；bd平面abcd，apbd，不正确答案：三、解答题10在棱长为a的正方体oabco1a1b1c1中，e，f分别是ab，bc上的动点，且aebf，求证：a1fc1e.证明：以o为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则a1(a,0，a)，c1(0，a，a)设aebfx，则e(a，x,0)，f(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即a1fc1e.11如图，在三棱锥pabc中，abac，d为bc的中点，po平面abc，垂足o落在线段ad上，已知bc8，po4，ao3，od2.(1)证明：apbc；(2)在线段ap上是否存在点m，使得平面amc平面bmc？若存在，求出am的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，以o为原点，以射线od为y轴的正半轴，射线op为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.则o(0,0,0)，a(0，3,0)，b(4,2,0)，c(4,2,0)，p(0,0,4)，(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，即apbc.(2)假设存在满足题意的m，设，1，则(0，3，4)(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)，(4,5,0)设平面bmc的法向量n1(x1，y1，z1)，由得即可取n1.设平面apc的法向量n2(x2，y2，z2)，由得即可取n2(5,4，3)，由n1n20，得430，解得，故am3.综上所述，存在点m符合题意，am3.12如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1，ab1，adm，e为bc中点，aeed.(1)求证：平面a1de平面a1ae；(2)设a1de的重心为g，问是否存在实数，使得，且mg平面a1ed同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1)证明：以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，a1(0,0，)，b(1,0,0)，d(0，m,0)，e，aeed，且 ，(0,0, )，10，m2.又0，edaa1，且aea，ed平面a1ae.ed平面a1ed，平面a1de平面a1ae.(2)依题意，g，m(0,2，0)则.假设存在满足题设条件，则0且0.即.13(2019济南模拟)如图，在三棱锥abcd中，da，db，dc两两垂直，且dbdc，