热传导方程的混合问题

1,偏微分方程教程第五章抛物型方程,2,2热传导方程的混合问题【知识点提示】半直线上的热传导方程，有限区间上的热传导方程，热的反射，分离变量法。【重、难点提示】求解齐次和非齐次热传导方程的混合问题。【教学目的】熟练地掌握热的反射求解半直线上的热传导方程，分离变量法求解有限区间上的热传导方程。,.,3,2.1半直线上的热传导方程与热的反射,(2.1),(2.2),4,引理5.3对Cauchy问题(1.1),(1.2),若初始数据,是关于某点,的奇函数,即,则Cauchy问题(1.1),(1.2)的解对,任意的时间,在点,处有,证不失一般性,可设,此时,.由Poisson公式(1.11),有,由于被积函数关于,是奇函数,故上式中的积分为零,即,为了应用Poisson公式(1.11)解混合问题(2.2),根据引理5.3,我们把初始数据,作奇延拓,(2.3),这时Cauchy问题(1.1),(2.3)的解可由Poisson公式(1.11)表示为,5,(2.4),由引理5.3,我们立即获得混合问题(2.2)的解为,用类似的方法，我们能考虑如下第二边值问题,(2.5),与引理5.3相对应,我们有如下结果.,6,引理5.4对Cauchy问题(1.1),(1.2),若初始数据,的偶函数,即,则Cauchy问题(1.1),(1.2)的解对任意的时间,在点,处有,证明类似于引理5.3,从略.,现在我们偶延拓(2.5)中的,(2.6),这时Cauchy问题(1.1),(2.6)的解可由Poisson公式(1.11)表示为,7,由引理5.4,我们获得混合问题(2.5)的解为,(2.7),注1对于问题(2.1),首先我们令,则(2.1)化为,(2.8),由叠加原理,(2.8)的求解可分解为如下两个问题的求解：,(I),(II),问题(I)的求解在前面已经讨论.问题(II)的求解可借用问题(2.2),的求解及齐次化原理获得.,8,注2如果我们令,那么我们也可以讨论如下,第二边值问题：,(2.9),9,2.2有限区间上的热传导方程与分离变量法,我们将用分离变量法在矩形,上,求一个函数,使它满足热传导方程,及初始条件,(2.11),和边界条件,(2.12),如同讨论波动方程的情形一样,这里泛定方程和定解条件都是线性,的,所以混合问题(2.10)-(2.12)可由以下定解问题,10,(I),(II),和,(III),叠加而成.因此,如果函数,和,分别是定解问题,(I),(II)和,（III）,的解,则原定解问题的解就可写成,对于定解问题(I)我们可用分离变量法求解,假定解的形式为,11,代入(I)中的方程,得,于是有,(2.13),(2.14),先考虑方程(2.14),由(I)中的边界条件推知,应满足边界条件,(2.15),如同第四章4所述,只有,特征值问题(2.14),(2.15)才有非平,凡解,此时特征值,取值为,(2.16),与其相对应的特征函数为,再将(2.16)代入方程(2.13),得,12,它的解是,(2.18),于是,所有函数,都是满足问题（I）中的方程及边界条件的非平凡解,其中,为任意常数.,为了求出问题(I)的解,考虑级数,(2.19),我们希望它满足初始条件,这时只要,可在,上展成以,(2.20),为系数的正弦Fourier级数即可.现在将(2.20)代入(2.19),我们就,13,得到混合问题(I)的形式解为,(2.21),下面我们证明由(2.21)定义的函数,确实是问题(I)的解.,定理5.3设,且,则由级数(2.21)定义的函数,就是混合问题(I)的解.,证先证明形式解(2.21)满足方程.由于,从而有界,于是存在正常数,使得,故对任意的,当,时有,而数项级数,收敛,因此,级数(2.21)在,且绝对收敛,所以函数,内内闭一致收敛,在,内是连续的.,对,逐项微分级数(2.21),得级数,(2.22),14,而对,逐项微分级数(2.21)两次所得级数是,(2.23),由于当,时,有,其中,或1,.由于数项级数,收敛,所以级数(2.22)和,(2.23)在区域,内闭一致收敛且绝对收敛.从而级数(2.21),是逐项可微的.由(2.22)和(2.23)立即得到,其次证明由(2.21)所确定的函数,满足定解条件.关于初始条件,在定理的假设下,是一致且绝对收敛的.根据阿贝尔(Abel)判别法,这个级数的项,与单调下降且一致有界的序列,的项的乘积所构成的级数对,是一致收敛的.所以级数(2.21)在区域,上是一致收敛的.,15,于是函数,在区域,上连续,即满足初始条件,关于边界条件,由于函数,在,上连续,故函数,在,和,处都是连续的.因而对所有的,都有,定理证毕.,对于定解问题(II),如同波动方程的情形一样,也可通过,齐次化原理,把它化为齐次方程问题求解(可参见引理5.2).这里,我们采用所谓特征函数法,它类似于常微分方程中的常数变易法.,设想定解问题(II)具有形如,(2.24),的解,其中,是待定函数.为了确定,将自由项,展成,的Fourier正弦级数,(2.25),16,其中,将(2.24)和(2.25)代入方程(2.10),得,由此即得,(2.26),再利用(II)中的初始条件,有,于是,的初始条件应为,(2.27),现在对定解问题(2.26),(2.27)求解,便得,将,的表达式代入(2.24),即得,17,(2.28),定理5.4假定函数,及它的一阶偏导数在,内连续,且对所有的,都有,则由(2.28)确定的函数,就是定解问题,(II)的解.,最后,对于定解问题(III)我们只须令,其中,则问题(III)化成如下混合问题,其中,.而这个定解问题又可写成上面讨论过,的定解问题,(I)和(II)