惯性矩与惯性张量的关系

第22卷 第4期 2005年12月 黄石教育学院学报 Journal of Huangshi Education College Vol.22 ,No.4 Dec. ,2005 ,090 - 092 惯性矩与惯性张量的关系 徐水源 (黄石教育学院,湖北 黄石 435002) 摘要文章分析了惯性矩与惯性张量的联系和区别,指出惯性矩与惯性张量应是两个不同的物理量。 关键词刚体;惯性矩;惯性张量;惯性积 中图分类号O301文献标识码A 文章编号1671 - 7422(2005)04 - 0090 - 03 在刚体力学中,惯性矩(转动惯量 )J 和惯性张量I都是刚体运动的动力学特征量,是两个重要的物 理量。有人认为,惯性矩与惯性张量是同一物理量,其理由是二者都是表示刚体转动惯性大小的,惯性 张量只是惯性矩的数学变换形式而已。笔者认为这种观点有欠妥当。惯性矩与惯性张量有其紧密联 系,但二者亦有明显的差别,应作为两个不同的物理量为好。本文试图阐明二者的联系和区别以及它们 所表示的物理意义,以彰显惯性矩和惯性张量在对刚体转动的物理分析中各自的表现形式和作用。 惯性矩和惯性张量都是表示刚体转动惯性大小的物理量,这是它们在其性质和功能上的相同之处。 但是,二者有很大的差异,其差异性表现在两个方面:第一个方面,二者是分别对不同转动形态的转动刚 体的转动惯性大小进行描述,惯性矩I是描述刚体作定轴转动时的转动惯性大小,而惯性张量I是描述 刚体作定点转动时的转动惯性的一组惯性量,其表现形式为由9个分量构成的矩阵。(刚体作定点转动 的力学情况要比刚体作定轴转动的力学情况复杂得多 ) ; 第二个方面,对惯性矩而言,当刚体转动的转轴 确定(定轴)以后,惯性矩J就为一个常量(确定值 ) ,J 的量值与轴上的坐标系无关,而对惯性张量I而 言,当刚体转动的定点取定以后,因通过该点可以建立多个乃至无穷个坐标系,所以惯性张量I对仅确 定的定点转动刚体是一组 (9 个)变量。(张量为矩阵,而矩阵为一组按规则排列的分量,各分量可能是 变量也可能为常量)只有在既确定了转动的定点又对转动定点的坐标系被确定后,惯性张量I的各个分 量才有确定值。 1、 惯性矩 惯性矩是描述刚体作定轴转动时转动惯性大小的物理量。惯性矩的大小等于刚体中每个质点(把 刚体作为质点系看待)的质量 mi与这一质点到转轴矩离ri的平方的乘积的总和,即: 决定惯性矩大小的因素有三 :(1) 刚体的总质量M的大小 ; (2) 刚体的质量分布情况 ; (3) 转轴的位 置,同一刚体对不同的位置的转轴其惯性矩一般不同。因此,必须指明对某一转轴的惯性矩,才有明确 的物理意义。对于几何形状简单,一般具有几何空间对称性,密度均匀而作连续分布的刚体,可用积分 法求得刚体对某一转轴的惯性矩,此时J的数学表示形式为: 收稿日期20050929 作者简介徐水源(1949- ) , 男,湖北浠水人,黄石教育学院物理系副教授。 19第4期 黄石教育学院学报 将(8)、(10)式与(3)、(4)式比较,可见I是表示刚体作定点转动时表示刚体转动惯性的物理量,是 由9个分量构成的张量,称为惯性张量,惯性张量是由一组分量构成,这些分量依据物理条件不同有可 能是变量,也有可能是定值。上述定点转动刚体的惯性张量由9个分量构成,这9个分量构成的张量矩 阵称为二秩张量。 对惯性张量I的各分量物理意义的说明:惯性张量I的矩阵中有9个分量,其中矩阵中的对角分量 Ixx、Iyy、Izz分别是刚体对x、y、z三个坐标轴的惯性矩,其余6个非对角分量Iyx、Izx、Ixy、Izy、Ixz、Iyz称为 各自对应的二正交平面的惯性积(实际上因为对称关系,六个量中只有三个分量独立的 ) , 其物理意义简 要说明如下: 当刚体的动量矩Li表示式(见(7)式)以不同的形式表示时其物理意义是不同的。当Li 用 j (ij , i ,j = x ,y ,z)表示时,Li的 “惯性项” 称为惯性积(对二正交平面而言 ) ; 当Li 用 i表示时,它的 “惯性项” 则 为惯性矩(对其坐标轴而言)。因此,刚体作定点转动时,它对每一坐标轴 (x 、y、z三轴)以及在坐标轴间 都表现出一定的惯性。所以定点转动的刚体其转动惯性用9个分量(其中独立者只有6个)组成,以完 整地反映刚体作定点转动时刚体整体的惯性。 由以上分析可以看出惯性矩与惯性张量之间的差异。 3、 惯性张量与惯性矩的联系 刚体定轴转动是刚体作定点转动情形中的特例,它是由刚体作定点转动时过定点的不确定瞬时轴 因新的约束条件的出现在原有的定点基础上,又出现新的定点,两定点成一定直线即定轴,而变为定轴 的情况。因此,惯性矩是惯性张量的特例,此时刚体转动惯性由定点转动的二秩惯性张量(由一组9个 分量组成)变为定轴转动时的惯性矩(无分量的单量,且对于确定的刚体确定的转轴(定轴)其惯性矩的 大小不依坐标系转动而改变 ) , 其值为常量。因惯性矩的大小不依定轴上坐标系的转动而改变,因此也 可称惯性矩为零秩张量。 简言之,刚体以定轴转动变为定点转动,其刚体的转动惯性由确定值的惯性矩 J ( 零秩惯性张量)变 为一组不确定值(变量)的二秩惯性张量 I( 张量的9个分量为变量)。反之,刚体以定点转动变为定轴转 动,其刚体的转动惯性由二秩惯性张量的一组9个变量演化为只有一个确定值的惯性矩(零秩张量)。 由此也可以说,惯性矩包含惯性张量之中(即普遍性包含于特殊性)。 虽然惯性矩与惯性张量有如此紧密的联系,但由于它们各自描述对象的不同和数学的表现形式及 包含内容不同,二者应为两个不同的物理量。如此对待有利于对刚体转动的力学分析。 (责任编辑 张兆华) 参 考 文 献 1周衔柏.理论力学教程.高等教育出版社,1985. 2周启煌.理论力学.中南工业大学出版社,1987. Relationship of moment of inertia and tensor of inertia XU Shui - yuan (Huangshi Scince and Engineering College , Huangshi Hubei 435000) Abstract In this text , the author has make detailed analyses relation and differentiation of moment of inertia and tensor of inertia , it is pointer out moment of inertia and ten