6.1不等式的性质.doc

梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结学科：数学教学内容：6.1 不等式的性质学习目的：1.重视实数的运算性质与大小顺序之间的关系.2.明确比较两个实数a与b的大小，就是判断它们的差a-b的符号.3.掌握不等式的每一个性质及每一个性质的条件.4.注意将不等式的性质与等式的性质进行类比，特别要搞清楚它们之间的区别.方法导引：1.比较两个实数的大小，常常利用作差法，作商法，平方作差法.2.证明不等式的性质，常常利用比较实数大小的方法.3.证明简单的不等式(或判断一个不等式是否正确)，常常利用不等式的性质，特别要注意不等式成立的条件.4.不等式的应用，常常将实际问题转化为不等式的相关问题，然后利用不等式的性质求解.例题精讲：例1 若a,bR+，比较+与+的大小.分析：作差法，作商法，平方作差法是比较两数大小的常用方法，我们在解题中要时刻记住这一条.解法一：(作差法). a,bR+ +-(+)+-+(a-b)(- )0 +.解法二：(作商法). a,bR+ 1 +. 解法三：(平方作差法). +2-(+)2 (+2)-(a+b+2) -(a+b) (a2+b2-ab-ab) 0 +.例2 设2a3,-4b-3,求a+b,a-b,ab,的取值范围.分析：运用不等式的性质解题的关键是弄清性质成立的前提条件.解：(1) 2a3,-4b-3 -2a+b0 (加法法则)(2) -4b-3 3-b4 (乘法单调性) 2a3 5a-b7 (加法法则)(3) -4b-3 - (倒数法则) - (乘法单调性) -1 (乘法法则) -1- (乘法单调性)(4) 3-b4 6-ab12 (乘法法则) -12ab-6 (乘法单调性)(5) 3-b4 9b216 (乘方法则) 2a3 (倒数法则) 38 (乘法法则)点评：在求解过程中要避免犯如下错误： 2a3由 得-8ab-9.这是因为在运用乘法法则时不符合其前提条件. -4bb，则下列不等式中正确的是( )A.algxblgx (x0) B.ax2bx2C.a2b2 D.2xa2xb分析：在进行不等式变形时，要注意每一步骤的理论依据是什么，切忌“随心所欲”.解： lgxR，当lgxb得 algxblgx不成立.x0时，ax2bx20 ax2bx2不成立. a2-b2(a+b)(a-b) 由ab得a-b0，但a+b的符号不确定，a2b2不成立. 2x0 2xa2xb成立.因此应选D.点评：在运用不等式的性质时，乘以“数(式)”时要当心，进行“放、缩”时要当心，在“取倒”时要当心.疑难解析：例 已知f(x)ax2-c 且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)的取值范围.分析一：要求f(3)的取值范围，因为f(1),f(2)的范围已知，故应建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系，可通过a、c将f(3)用f(1)和f(2)表示.解法一： f(1)a-c, f(2)4a-c a c f(3)9a-c9-f(1)+f(2) -4f(1)-1 -f(1) -1f(2)5 -f(2) -1-f(1)+ f(2)20即 -1f(3)20分析二：建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系时，也常用待定系数法.解法二：令f(3)mf(1)+nf(2)则 9a-cm(a-c)+n(4a-c)即 9a-c(m+4n)a-(m+n)c m+4n9 m- 解得 m+n1 n f(3)-f(1)+ f(2)下面解法同解法一.分析三：运用数形结合的思想方法，让问题变得直观明了. -4x-y-1解法三：依题意，问题转化为当动点P(x,y)在满足条件 -14x-y5 -4x-y-1的区域上变化时，求b9x-y的取值范围.而满足条件 -14x-y5的区域是由直线x-y-1，x-y-4及直线4x-y5，4x-y-1围成的平行四边形区域(图6-1中阴影部分).图6-1下面考虑在直线9x-yb平行移动过程中，当它与图6-1中阴影部分有公共点时，求b的取值范围.易知，当直线9x-yb经过点A(0，1)时，b9x-y取最小值90-1-1，当直线9x-yb经过点c(3,7)时，b9x-y取最大值93-720. -1b20 即-19x-y20 -1f(3)20注意：本题在求解过程中，常常犯这样的错误. -4a-c-1 0a3由 求得 -14a-c5 1c7从而-79a-c26即 -7f(3)26.显然，f(3)的取值范围扩大了，其扩大的原因是由满足条件形成的区域(图6-2中阴影部分)比图6-1中所示的区域要大，所以它们表示的范围不同.事实上，在图6-2中，当直线9x-yb经过点D(0，7)时，b9x-y取最小值90-7-7.当直线9x-yb经过点B(3，1)时，b9x-y取最大值93-126.从而得到-79x-y26.即-7f(3)26.考点预测：本节考点：1.利用作差法，作商法比较两个实数的大小.2.利用不等式的性质判断不等式的正误.3.利用不等式的性质求变量的取值范围.综合实践：1、已知等比数列an的首项与公比均为a(-1a0)，若bnanlgan(nN)，问是否存在自然数n0，使得对于任意nN都有bn?若存在，求出n0的值；若不存在，请说明理由.解：anaan-1an，bnnanlga.-1a0，n为偶数时，bn0,假设符合条件的n0存在，则n0必为正偶数.b2k+2-b2k(2k+2)a2k+2lga-2ka2klgaa2klga(2k+2)a2-2k2a2klga(a2-1)k+a22a2klga(a2-1)k-，取的整数部分为k0，则kk0时，b2k+2k0时，b2k+2b2k,b2b4-2+2,且+2+4+b0，bn，从而，对任意nN，有bn.2、设0x0,a1，试比较loga(1-x)与loga(1+x)的大小.分析：因为a的值不确定，在解题过程中可运用换底公式去掉绝对值，也可通过平方去掉绝对值.本题可采用作差法，作商法，平方作差法比较大小.解法一：(作差法)loga(1-x)-loga(1+x)-lg(1-x)-lg(1+x)-lg(1-x)-lg(1+x)-0 loga(1-x)loga(1+x)解法二：(作商法)log(1+x)(1-x)-log(1+x)(1-x)log1+xlog(1+x)log(1+x)(1+x)-log(1+x)(1-x2)1-log(1+x)(1-x2)1 loga(1-x)loga(1+x)解法三：(平方作差法) loga(1-x)2-loga(1+x)2 loga(1-x)2-loga(1+x)2 loga(1-x)+loga(1+x)loga(1-x)-loga1+x loga(1-x2)loga lg(1-x2)lg()2 01-x21 lg(1-x2)0又 01 lg0 loga(1-x)loga(1+x)3、若对于某区间D内任意x1,x2，恒有f()，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数，证明函数f(x)logax (a1)在区间(0，+)上是上凸函数.分析：只需证明函数f(x)logax满足条件.证明：设x1,x2(0,+)则 f()- loga-(logax1+logax2) loga loga loga1+loga10 f(x)logax (a1在区间(0，+)上是上凸函数.4、有甲、乙、丙三种食物的维生素A、D含量及成本如下表：甲乙丙维生素A(单位/千克)600700400维生素D(单位/千克)800400500成本(元/千克)1194某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素D.(1)用x,y,z表示混合物的成本C(元)(2)确定x,y,z的值，使成本最低.解：(1)依题意：C11x+9y+4z 且x+y+z100 C 11x+9y+4(100-x-y)400+7x+5y 600x+700y+400z56000(2)依题意 800x+400y+500z63000将z100-x-y代入上方程组化简得 2x+3y160 3x-y130令 C400+m(2x+3y)+n(3x-y) 2m+3n7 m2则 3m-n5 n1 C400+2(2x+3y)+(3x-y)400+2160+130850 2x+3y160 x50当且仅当 即 时等号成立. 3x-y130 y20此时 z100-50-2030因此，当x50千克，y20千克，z30千克时成本最低，为850元.【同步达纲练习】知识强化：一、选择题1.下列命题正确的是( )A.若ab,则ac2bc2 B.若ab,cd，则acbdC.若，则ab D.若ab,ab0，则.2.设ab B.C.ab D.a2b23.若alog0.20.3，blog0.30.2，c1，则a、b、c的大小关系是( )A.abc B.bacC.bca D.cba4.“a+b2c”的一个充分条件是( )A.ac或bc B.ac且bcC.ac或bc或bc5.若a0,-1babab2 B.ab2abaC.abaab2 D.abab2a二、填空题6.若abc0，则,c从小到大的顺序是_.7.已知12m60,15n1,(2)a+b2,(3)a+b2,(4)a2+b22,(5)ab1,其中能推出“a,b中至少有一个数大于1”的条件是_.三、解答题9.已知-1a1，比较(1-)与(-1)的大小. 10.已知bc，a+b+c0，则下面不等式中恒成立的是( )A.abac B.acbcC.abbc D.a2b2c22.若a,b,R，则ab(a-b)0成立的一个充要条件是( )A.0 B.0C. D. 3.若a+db+c,a-db-c则ad与bc的关系是( )A.adbc B.adbc D.ad与bc的大小不确定4.已知0ab1，则ab,logba,的大小关系是 ( )A. ablogba B. logbaabC.logbaab D.ablogba5.若ab与均成立.B.不等式与均不成立.C.不等式与(a+)2(b+)2均不成立.D.不等式与(a+)2(b+)2均不成立.二、填空题6.以下四个不等式：(1)a0b (2)ba0 (3)b0a (4)0ba，其中使成立的充分条件是_.7.若a,b,mR+，且，则a与b的大小关系是_.8.设f(x)ax2+b (a0)且0f(0)1，2f(2)3，则f(3)的取值范围是_.三、解答题9.设实数a,b,c满足b+c6-4a+3a2,c-b4-4a+a2，试确定a,b,c的大小关系.10.已知-3a2，b2a，cb-2a，求c的取值范围.创新深化：一、选择题 2a+b4 0a11.设甲：a和b满足 ，乙：a和b满足 ，那么( ) 0ab3 2bQ B.PQC.PQ D.不能确定3.设f(x)lgx，若0abf(c)f(b)，则下列命题成立的是( )A.(a-1)(c-1)0 B.ac1C.ac1 D.acc a+bc+d a+dbac B.bcdaC.bdca D.bdac5.设asin15+cos15,bsin16+cos16，则下面不等式中正确的是( )A.ab B.abC.ba D.ba二、填空题6.已知a,b,m,nR+，且m+n1，则和m+m的大小关系是_.7.若0ab,a-b-”同时成立，则ab应满足的条件是_.三、解答题9.已知实数a,b,c满足+0，其中mR+，设f(x)ax2+bx+c(a0).证明：af()0，a3b30，a1a3.试比较下面两组数的大小.(1) a2与b2.(2) (2)a5与b5.参考答案：知识强化:1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C, , , 7.(,4) 8. 9.(1-)0 1-110. 22 -2-2- -2-2 又 -0 -2-20，又-，