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文档简介

二、无界函数的广义积分,常义积分,积分区间有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的广义积分,广义积分,(反常积分),5.5广义积分,三、函数和函数,且,若极限,存在，,则称此极限值为函数,在无穷区间,上的广义积分.,记作:,即,否则发散.,定义5.5.1,5.5.1无穷限广义积分,类似可定义,其中为常数(通常取c=0).,例1.计算,解,例2.计算,解,则有类似牛莱公式的计算表达式:,若记,同样地：,其中,便于书写方便,6,例3证明积分,发散.,证：,解,综上可知,结论,结论,例5.计算,解,无穷限广义积分也有换元积分法和分部积分法.,连习.计算,解,9,2.无穷限积分的性质,则,则,例6求,解,所以,11,求,解：,由于,所以,12,3.无穷限积分收敛的判定,(充要条件),是有界函数.,(充分条件),定理5.5.2(比较判别法),设,则,收敛；,发散；,证,由于,13,确定的，,有,而且,由比较判别法知，,收敛，,绝对收敛：,条件收敛：,定理5.5.3,绝对收敛的无穷限积分必收敛.,证,因为,收敛,收敛，,又因为,条件收敛.,14,例9判定,的敛散性.,解：,因为,且,收敛，,所以,收敛，即,绝对收敛.,即,瑕积分,定义5.5.3,5.5.2无界函数的广义积分,左端的广义积分发散,类似可定义,(c为瑕点),右端两个广义积分至少有一个发散,17,例1,计算,则,例2.计算广义积分,解:因,所以,注：在形式上也可采用牛顿莱布尼兹公式的记法.,练习.讨论广义积分,的敛散性.,解,且,因,所以,原广义积分发散.,结论,综上可知,解,由于,结论,例4.计算,解,例5.计算,解,P8,是瑕点，,令,则,（课本例3）,广义积分,性质：,证:(1),(2),5.5.3函数和函数,注意到:,定义5.5.4,性质：,定义5.5.
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