函数的最值复习.doc

根据条件确定函数的参数是否存在例 已知函数，是否存在实数a、b、c，使同时满足下列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在上是增函数；（3）最大值是1若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由分析：本题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a、b、c存在，然后用三个已给条件逐一确定a、b、c的值解：是奇函数又，即，或，但时，不合题意；故这时在上是增函数，且最大值是1设在上是增函数，且最大值是3，当时，故；又当时，；当时，；故，又当时，当时，所以在是增函数，在（1，1）上是减函数又时，时最大值为3经验证：时，符合题设条件，所以存在满足条件的a、b、c，即说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义此题若用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施若用求导数的方法解决就迎刃而解因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法切不可忘记供水站建在何处使水管费最少例 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置解：解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则又设总的水管费用为y元，依题意有令，解得在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在（km）处取得最小值，此时（km）供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省解法二：设，则设总的水管费用为，依题意，有 令，得根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，此时（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省说明：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择利用导数求函数的最值 例 求下列函数的最值： 1； 2； 3 4分析：函数在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间上函数的最值时，只需求出函数在开区间内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可解：1，令，得，又2，令，得，又3令，即，解得当时，当时，函数在点处取得极小值，也是最小值为即4函数定义域为，当时，令，解得，又，说明：对于闭区间上的连续函数，如果在相应开区间内可导，求上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大（或最小）的函数值，就是最大（或最小）值解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病求两变量乘积的最大值例 已知为正实数，且满足关系式，求的最大值分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将表示为某一变量（x或y或其它变量）的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值解：解法一：，由解得设当时， 令，得或（舍），又，函数的最大值为即的最大值为解法二：由得，设，设，则 令，得或，此时即当时，说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策