拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

目 录 引言.1 1 拉普拉斯变换以及性质.1 1.1 拉普拉斯变换的定义.1 1.2 拉普拉斯变换的性质.2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤.3 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用.4 3.1 初值问题与边值问题.4 3.2 常系数与变系数常微分方程.5 3.3 含函数的常微分方程.6 3.4 常微分方程组.7 3.5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用.7 3.6 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广.11 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用.12 4.1 齐次与非齐次偏微分方程.12 4.2 有界与无界问题.15 5 综合比较，归纳总结.19 结束语.20 参考文献.20 英文摘要.21 致谢.21 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系 0801 班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华 摘摘 要：要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯 变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普 拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函 数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯 变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与 无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优 势以及局限性。 关键词：关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换 时必须满足狄里希利和在内绝对可积，但是在物理、无线电技术等t 实际应用中，许多以时间 为自变量的函数通常在时不需要考虑或者没有t0t 意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适 当改造，便产生了拉普拉斯变换1。 1 1 拉普拉斯变换以及性质拉普拉斯变换以及性质 1.11.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 设函数当时有定义，而且积分( 是一个复参量)在 的( )f t0t 0 ( ) st f t edt ss 某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为.我们称上式 0 ( )( ) st F sf t edt 为函数的 Laplace 变换式.记为,称为的 Laplace 变( )f t( ) ( )F sL f t( )F s( )f t 换（或称为象函数）. 若是的 Laplace 变换，则称为的 Laplace 逆变换（或称( )F s( )f t( )f t( )F s 为象原函数） ，记为 2. 1 ( ) ( )f tLF s Laplace 变换的存在定理 若函数满足下列条件:( )f t 在的任一有限区间上分段连续；10t 当时，的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数2t ( )f t 及，使得成立（满足此条件的函数，称它的0M 0c c ( )0f tMet ， 增大是不超过指数级的， 为它的增长指数）. c 则的 Laplace 变换在半平面上一定存在，( )f t 0 ( ) st Ff t edt （s）=Re( ) sc 右端的积分在的半平面内,为解析函数2. 1 Re( ) scc( )F s 1.21.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 线性性质 若是常数，, ,， 11 ( )( )L f tF s 22 ( )( )L f tF s 则有, 1212 ( )( )(t)+( )Lf tf tL fL f t . 111 1212 ( )( )(s)+( )LF sF sLFLF s 微分性质 若,则有. ( )( )L f tF s ( )( )(0)L f tsF sf 高阶推广 若,则有. ( )( )L f tF s 2 ( )( )(0)(0)L fts F ssff 一般，. 12(2)(1) ( )( )(0)(0)(0)(0) nnnnnn L fts F ssfsfsff 积分性质 若,则. ( )( )L f tF s 0 1 ( )( ) t Lf t dtL F s s 位移性质 若，则. ( )( )L f tF s( )()(Re() at L e f tF sasac 延迟性质 若,又时, ( )( )L f tF s0t ( )=0f t 则对于任一非负实数， 有,或 2. ()( ) s L f teF s 1 ( )() s LeF sf t 相似性性质 若,则. ( )( )L f tF s 1 ()( ) s L f atF aa 卷积性质 若,， 11 ( )( )L f tF s 22 ( )( )L f tF s 则， 11212 ( )( )( )( )L f tf tF s F s 其中称为与的卷积3. 11212 0 ( )( )( )() t f tf tff td )( 1 tf)( 2 tf 由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控 制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照 表列出了工程上常用的时间函数及其对应的拉氏变换，可以根据该表查找原函 数的象函数，或者从象函数查找原函数。对于表中不能找到的形式，可以把它 展开成部分分式，再求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换。以下是本文将用到的 几种常用的拉普拉斯变换函数对3: 表一：拉普拉斯变换函数表 2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 像其他方法求解微分方程一样，应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范 的步骤，其一般步骤4如下： 1、根据自变量的变化范围和方程及其定解条件的具体情况来决定对哪一个 自变量进行拉普拉斯变换，然后对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换，使 微分方程变为 s 的代数方程； 2、解象函数的代数方程，得到有关变量的拉普拉斯变换表达式，即象函数； 原函数象函数原函数象函数 1 s 1 () n tn为整数 1 ! n s n t e s 1 at t sin 1 s a arctan tsin 22 s tcos 22 s s tsh 22 s tch 22 s s ttsin 222 )( 2 s s ttcos 222 22 )( s s )(t 1 ) 2 ( t a erfc sa e s 1 3、对象函数取拉普拉斯逆变换，得到微分方程的时域解。 流程图法5如下： 微分方程的解 取拉普拉斯逆变换 取拉普拉斯变换 解代数方程 原函数象函数 微分方程象函数的代数方程 图一：拉普拉斯变换求解微分方程的流程图 拉普拉斯变换在物理和工程等领域有着广泛的应用，通过拉普拉斯变换， 可以方便地对线性控制系统进行分析、研究，可以对一些级数进行求和，还可 以求解微分方程1。接下来重点讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用。 3 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 3.13.1 初值问题与边值问题初值问题与边值问题 例：求解初值问题 2. 43, (0)(0)1 t yyyeyy 解：设对方程两边同时取拉普拉斯变换，有),()(tyLsY , 2 1 ( )(0)(0)4( )(0)3 ( ) 1 s Y ssyysY syY s s 结合初始条件，有, 2 1 ( )14( ) 13 ( ) 1 s Y sssY sY s s 整理展开成部分分式，有. 2 22 66711131 ( ) (1) (3)412 (1)43 ss Y s sssss 由拉普拉斯变换函数表,可知,. 11 t Le s 11 1 t Le s 1 3 1 3 t Le s 由拉普拉斯变换函数表,并结合位移性质， 1 1 ! n n n Lt s ( )() t L ef tF s 可知， 1 2 1 (1) t Lte s 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为 。 133 7131 ( ) ( )(72 )3 4244 ttttt y tLY seteet ee 例：求解边值问 2. 0,(0)0,(2 )1yyyy 解：设对方程两边同时取拉普拉斯变换，有),()(tyLsY , 0)()0()0()( 2 sYysysYs 结合初始条件，有, 0)()0()( 2 sYysYs 整理展开成部分分式，有), 1 1 1 1 ( 2 1 )0( 1 )0( )( 2 ss y s y sY 由拉普拉斯变换函数表可知, 1 1 t e s L , 1 1 1 t e s L . 1 1 1 t e s L 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为 .sinh)0()(0( 2 1 )()( 1 tyeeysYLty tt 为了确定，将条件代入上式可得)0( y1)2(y, 2sinh 1 )0( y 所以，方程的解为. 2sinh sinh )( t ty 3.23.2 常系数与变系数常微分方程常系数与变系数常微分方程 例：求解常系数微分方程 2. 2)1(,0)0(,02 yyyyy 解：设对方程两边同时取拉普拉斯变换，有),()(tyLsY , 0)()0()( 2)0()0()( 2 sYyssYysysYs 结合初始条件，有, 0)()( 2)0()( 2 sYssYysYs 整理展开成部分分式，有, ) 1( )0( 12 )0( )( 2 2 s y ss y sY 由拉普拉斯变换函数表并结合位移性质, ! 1 1 n n t s n L ),()( sFtfeL t 可知. ) 1( 1 2 1 t te s L 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为 ,)0()()( 1t teysYLty 为了确定，将条件代入上式可得)0( y2) 1 (y, 2 )0( e y 所以，方程的解为.2 2 )()( 11 tt tete e sYLty 例：求解变系数微分方程 2. 00 20,(0)1,(0),(tyytyyycc为常数） 解：设对方程两边同时取拉普拉斯变换，),()(tyLsY , 02 tyLyLtyL 即, 04 tyLyLtyL 亦即, 0)()0()( 2)0()0()( 2 sY ds d yssYysysYs ds d 两边积分可得, 0)()0()( 2)0()()(2 2 sY ds d yssYysY ds d sssY 结合初始条件，有, 0)( 1)( 2 1)()(2 2 sY ds d ssYsY ds d sssY 整理可得, 1 1 ) s ( 2 s Y ds d 两边积分可得,arctan)(cssY 欲求待定系数 c,可利用，所以从，0)(lim sY s 2 c ， s ssY 1 arctanarctan 2 )( 由拉普拉斯变换函数表可知,sin 1 arctan 1 at ts a L .sin 1 arctan 1 t t sL 对方程两边同时求反演，可得方程的解为.sin 1 )()( 1 t t sYLty 3.33.3 含含函数的常微分方程函数的常微分方程 例：质量为的物体挂在弹簧系数为的弹簧一端，当物体在时在mk0t 方向受到冲击力(t),其中为常数。若物体自静止平衡位置x( )( )f tAtA 处开始运动，求该物体的运动规律 2. 0 x ( )x t 解：根据牛顿定律，有,)( kxtfmx 其中由胡克定律所得，是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力。所以，kx 物体运动的微分方程为 . 0 )0()0(),0)( xxttfkxmx且 这是二阶常系数非齐次微分方程，对方程两边取拉普拉斯变换，设 并考虑到初始条件，则得,)()(),()(AtALtfLsXtxL ,)()( 2 AskXsXms 如果记有, 2 0 m k . 1 )( 2 0 2 sm A sX 由拉普拉斯变换函数表可知,sin 22 1 t s L .sin 1 1 0 0 2 0 2 1 t s L 对方程两边同时取反演，从而方程的解为.sin)( 0 0 t m A tx 可见，在冲击力作用下，运动为一正弦振动，振幅是角频率是称, 0 m A , 0 为该系统的自然频率（或称固有频率） 。 0 3.43.4 常微分方程组常微分方程组 例：求解三维常微分方程组 2 0, 0, (0)1, (0)(0)(0)(0)(0)0 0, xxyz xyyzxyzxyz xyzz 解：设对方程组的两个方程两边分),()(txLsX),()(tyLsY),()(tzLsZ 别取拉普拉斯变换并结合初始条件，有 . 0 )() 1()()( 0)()() 1()( , 0)()()() 1( 2 2 2 sZssYsX sZsYssX sZsYsXs 解该方程组，整理展开成部分分式，有 . 13 1 23 1 )2)(1( )()( , 13 1 23 2 )2)(1( )( 2222 2222 3 s s s s ss s sZsY s s s s ss s sX 取其逆变换，可得原方程组的解 .cos 3 1 )2cosh( 3 1 )()( ,cos 3 1 )2cosh( 3 2 )( tttzty tttx 3.53.5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 形如的方程称为阶常系数非齐次线)( 1 )1( 1 )( xfyayayay nn nn n 性微分方程，这里为常数，为连续函数。我们平时用到的 nn aaaa, 1, 21 ( )f x 主要有三种形式：,( )f x( ) x f xe , 2 12 ( )( )( ) xn n f xep xp xp xp xp x 其中 6. ( )sin( )cosf xxf xx、 该非齐次微分方程的解即该非齐次微分方程的特解与对应的齐次微分方程 的通解。对于该方程的通解可用多种方法求特解，如：比较系数法、常数变易 法、算子法等。下面将用拉普拉斯变换法求解该方程的特解。 设为求特解令初始条件为零，对方程两边同),()(),()(xfLsFtyLsY 时取拉普拉斯变换，得到，下面结合 f(x)的三种 nn nn asasas sF sY 1 1 1 )( )( 形式分别作介绍。 （1） x exf )( 此时， )( 1 )( 1 1 1nn nn asasass sY 对其进行部分分式分解，令， )( )( 1 1 1 21 nn nn nn asasas DCsBs s A sY 则该齐次微分方程特解的形式与自由项 f(x)有关，也就是说与变换项有关； s A 对应的齐次微分方程的通解由决定，只要该项分母中 )( 1 1 1 21 nn nn nn asasas DCsBs 不含有特解因子，则特解只取决于 7。 s s A 若, 0 1 1 1 snn nn asasas 则， s nn nn asasas xYsA )( 1 )()( 1 1 1 即相应的拉普拉斯变换特解为. )( 1 1 )( 1 1 1 s nn nn asasass xY 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为).()( 1 sYLty 例：求解常系数线性齐次方程的特解。 x eyy 2 解：设令初始条件为零，),()(tyLsY 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有. 2 1 )()( 2 s sYss 整理展开成部分分式，有, 2)(2( 1 )( 22 ss CBs s A sss sY 此时则, 0)( 2 2 s ss , 2 1 2 1 1 2 1 )( 1 1 )( 2 2 1 1 1 ssssasasass xY ss nn nn 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为 x e s LsYLty 211 2 1 2 1 2 1 )()( 若, 0)( )( 1 11 1 1 mn mnmn s m snn nn bsbssasasas 令， )()( )( 1 1 21 1 mn mnmn mnmn m bsbs DsCsB s A sY 同理，相应的拉普拉斯变换特解为 . )( 1 )( 1 )( 1 1 1 s mn mnmnm bsbss xY 例：求解常系数线性齐次方程的特解。 x eyyyy 2 485 解：设令初始条件为零，),()(tyLsY 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有. 2 1 )( ) 4 85( 23 s sYsss 则, ) 1()2)(2( 1 )485)(2( 1 )( 223 sssssss sY 此时, 0485 2 23 s sss 令, ) 1()2( )( 3 s BsA s A sY 则相应的拉普拉斯变换特解为 , ) 2 ( 1 1 1 . ) 2 ( 1 )( 1 )( 1 )( 3 2 31 1 1 sssbsbss xY ss mn mnmnm 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为 . 2 1 )2( 1 )()( 22 3 11x ex s LsYLty （2）. )()()( 2 21 n n x xpxpxpxpxpexf其中 例：求微分方程的特解。 x xeyyy 2 65 解：设令初始条件为零，),()(tyLsY 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有, ) 2 ( 1 )( ) 6 5( 2 2 s sYss 则, )3)(2()2( 1 )65()2( 1 )( 222 ssssss sY 此时, 065 2 2 s ss 令, 65)2( )( 22 ss DCs s BAs sY , 2 1 23 1 )1)(2( 1 2 1 65 1 )2()( 442 4444442 2 2 222 s s ss s ss s sss ssYBAs ss ssssss 相应的拉普拉斯变换特解为 , )2( 1 )2( 1 2 1 )2( 1 )2( )( 3222 sss s ss BAs sY 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为 ). 2 1 1 () 2 1 ( )2( 1 )2( 1 )()( 222 32 11 xxexexe ss LsYLty xxx （3）xxfxxfcos)(sin)(、 例：求解微分方程的特解7。xyyy2sin54 解：设令初始条件为零，),()(tyLsY 对方程两边同时取拉普拉斯变换，有, 4 2 )() 54( 2 2 s sYss 令, 544 )( 22 ss DCs s BAs sY , 65 ) 14(2 116 ) 14(2 ) 14)(14( ) 14(2 14 2 54 2 )4)( 42 4442 2 2 222 s s s ss s sss ssYBAs s sss 相应的拉普拉斯变换特解为 ), 4 2 4 8( 65 1 )4(65 ) 14(2 4 )( 2222 ss s s s s BAs sY 对方程两边同时求反演，整理可得原微分方程的特解为 11 22 21 ( )( )8(8cos2sin2 ). 4465 s y tLYsLxx ss 3.63.6 拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 对于阶常系数线性齐次微分方程满足以n ( )(1) 11 0 nn nn ya yaya y 下两个引理8： 引理 1 n 阶常系数线性齐次方程的解（积分曲线）具有平移不变性。也就是 说，若 y=y(x)为 n 阶常系数线性齐次方程的一个解，则对任意的常数 c, 也是 n 阶常系数线性齐次方程的解。()yy xc 引理 2 若为 n 阶常系数线性齐次方程的一个解，),( 00 yxxyy 经平移后变为则也是 n 阶常),( 00 yxxyy ), 0 ,( 00 yxxyy), 0 ,( 00 yxxyy 系数线性齐次方程的解。 下面给出利用拉普拉斯变换方法求解三阶常系数线性齐次方程 满足在任意点的初始条件0 )3( ryqypyy 的解。 2 00 1 00 00 )(y,)(,)(yxyxyyxy 设方程的解为这样，我们便将初值点平移到), 0 ,(),( 0000 yxxyyxxyy 了点，于是可用如下的拉普拉斯变换方法求解该初值问题。0 0 xx 令),t)(, 0 ,()( 000 xxyxxyty其中 .)0(y,)0(,)0(,)0( )3( 0 3( )2( 0 0 0 yyyyyyy ） 设对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到),()(tyLsY , 0 )3( ryqypyyL 由拉普拉斯变换的导数性质以及)0()()( fssFtfL 高阶导数推广可得， ) 0 ( ) 0 () 0( ) 0 ()()( ) 1()2(21 nnnnnn fsffsfssFstfL . 0 )()0()()0( ) 0 ()()0( ) 0 ( ) 0 ()( 2 23 srYyssYqysysYspysyyssYs 结合初始条件，有 . 0 )()()()( 0 1 00 2 2 0 1 00 23 srYyssYqysysYspysyyssYs 整理可得.)()( 1 )( 2 0 1 00 2 23 yypsyqpss rqspss sY 对上式两边同时取拉普拉斯逆变换，可得 .)()( 1 )( 2 0 1 00 2 23 11 yypsyqpss rqspss LsYL 进行变量还原，便得到所求初值问题的解为 ).()(), 0 ,(),( 00000 xxytyyxxyyxxyy 例：求解二阶常系数线性齐次方程，该方程满足初始条件0 yy 8 ()1,()1 44 yy 解：首先转化初值条件). 4 )() 1 , 0 , 4 () 1 , 4 ,( xttyxyxyy其中 设对方程两边同时取拉普拉斯变换，得到),()(tyLsY, 0 yyL 即 . 0 )( 1)( 2 sYssYs 整理成部分分式，有. 1 1 11 1 )( 222 ss s s s sY 由拉普拉斯变换函数表可知,cos 22 1 t s s L ,cos 1 2 1 t s s L 由拉普拉斯变换函数表可知,sin 22 1 t s L ,sin 1 1 2 1 t s L 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为.sincos)()( 1 ttsYLty 变量还原，得到原初值问题的解为 .cos2) 4 sin() 4 cos(sincos)() 1 , 0 , 4 () 1 , 4 ,(xxxtttyxyxyy 4 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 4.14.1 齐次与非齐次偏微分方程齐次与非齐次偏微分方程 例：求解齐次偏微分方程 2 .3 , ), 0( , 0 2 0 2 2 yu xu yxyx yx u x y 解：对该定解问题关于 y 取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得 ),(),(sxUyxuL ,) 0 , (),( 2 xsUxusxsU y u L ,2)( 0 2 x dx dU s x u x u sL x u y L yx u L y , 2 2 2 s x yxL . 3 20 0 s UuL x x 这样，原定解问题转化为含参数 s 的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问 题： . 3 ,2 20 2 2 s U s x x dx dU s x 方程可转化为 2 2 2 s x x dx dU s 2 2 2 s x x dx dU s 解此微分方程，可得其通解为其中 c 为常数。, 3 2 3 3 c s x s x U 为了确定常数 c，将边界条件代入上式，可得 2 0 3 s U x . 3 2 s c 所以，. 3 3 ),( 2 2 3 3 ss x s x sxU 由拉普拉斯变换函数表可知, 1 1 1 s L. 2 2 1 x s x L 由拉普拉斯变换函数表可知, ! 1 1 n n t s n L , 2 3 2 3 3 3 1 y x s x L .3 3 2 1 y s L 方程两边取反演，从而原定解问题的解为 .3 6 ),(),( 2 23 1 xy yx sxULyxu 例：求解非齐次偏微分方程 2 . 0 , 0, 0 ),0, 0( , 0 0 0 2 2 2 2 2 x t t u t u u txgg x u a t u 为常数）， 解：对该问题关于 t 取拉普拉斯变换， ，并利用微分性质及初始条件可得 ),(),(sxUtxuL ,),( 2 0 2 2 2 Us t u ussxUs t u L ot t , s g gL ,),( 2 2 2 2 2 2 U dx d txuL xx u L . 0 00 xx UuL 这样，原定解问题转化为含参数 s 的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问 题： . 0 lim, 0 , 11 0 2 2 22 2 UU s g a Us adx Ud s x 方程可转化为 s g a Us adx Ud 2 2 22 2 11 , 11 2 2 22 2 s g a Us adx Ud 解此微分方程，可得其通解为其中,),( 3 21 s g ececsxU x a s x a s 为常数。 21,c c 为了确定常数将边界条件代入上式，, 21 cc0lim, 0 0 UU s x 可得, 0 3 21 s g cc 所以，.)1 (),( 333 s a x x a s e s g s g e s g sxU 由拉普拉斯变换函数表可知, ! 1 1 n n t s n L . 2 2 3 1 t g s g L 由拉普拉斯变换函数表并结合延迟定理, ! 1 1 n n t s n L ),()( 0 1 0 ttfsFeL st 可知).()( 2 2 3 1 a x tu a x t g e s g L s a x 方程两边取反演，从而原定解问题的解为 ).()( 22 ),(),( 22 33 11 a x tu a x t g t g e s g s g LsxULtxu s a x （或） .,)( 22 ;, 2 22 2 a x t a x t g t g a x tt g 4.24.2 有界与无界问题有界与无界问题 例：求解有界偏微分方程 2 . 0 , 0 ),(, 0 ),0,0( , 0 0 0 2 2 2 2 2 t t lx x t u u tuu tlx x u a t u 解：对该定解问题关于 t 取拉普拉斯变换，记 ),(),(sxUtxuL , 2 0 2 2 2 Us t u usUs t u L t ox , 2 2 2 2 dx Ud x u L , 0 0 x ox UuL ).(sUuL lx lx 这样，原定解问题转化为含参数 s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题： 该方程的通解为其中是常数。,),( 21 x a s x a s ececsxU 21,c c 为确定常数，将边界条件代入上式，可得即 21,c c, 0 0 x U, 0 21 cc; 21 cc 将边界条件代入上式，可得)(sU lx .)( 21 l a s l a s ececs 因此. )( 21 l a s l a s ee s cc 从而 ).(, 0 , 0 0 2 2 2 2 sUU U a s dx Ud lx x . 11 )( )( )( )()(),( 4 )3()3( 4 )()( 3 3 s a l xl a s xl a s s a l xl a s xl a s l a s l a s l a s l a s l a s l a s x a s x a s l a s l a s x a s x a s e ee e ee s eeee eeee s ee ee ssxU 为了求的拉普拉斯逆变换，注意到分母为所以逆变换是周( , )U x s,1 4 s a l e ( , )u x t 期为的关于的周期函数。根据周期函数的拉普拉斯变换式，其中 a l 4 表明是以为周期的周期函数，即 s a l e s 4 1 )( )(t a l 4 a l s s a l s a l de ee s tL 4 0 44 ,)( 1 1 1 )( )( 由拉普拉斯变换函数表),( 1 )( 4 1 t e s L s a l 并结合延迟定理),()( 0 1 0 ttfsFeL st 可知).()( 1 )( 4 1 a xl tu a xl te e s L s a xl s a l 同理可知 ).()( 1 )( 4 1 a xl tu a xl te e s L s a xl s a l ). 3 () 3 ( 1 )( 3 4 1 a xl tu a xl te e s L s a xl s a l ). 3 () 3 ( 1 )( 3 4 1 a xl tu a xl te e s L s a xl s a l 方程两边取反演，从而原定解问题的解为 ). 3 () 3 () 3 () 3 ( )()()()(),(),( 1 a xl tu a xl t a xl tu a xl t a xl tu a xl t a xl tu a xl tsxULtxu 其中为单位阶跃函数，)(au 即 . 0 , 1 , 0, 0 )( a a au 例：求解无界偏微分方程 2 . 0 ( ),0, 0 x( , 0 00 2 2 2 t x u uu thhu x u a t u 常数）， 为常数），（ 解：对该问题关于 t 取拉普拉斯变换，记 ),(),(sxUtxuL ,),( 0 sUusxsU t u L x ,),( 2 2 2 2 2 2 dx Ud txuL xx u L . 0 00 s u UuL xx 这样，原定界问题转化为含参数 s 的二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题： .(0lim, , 0 0 0 22 2 为自然定解条件）U s u U U a hs dx Ud x x 解此微分方程可得通解为 ,其中,为常数。 12 ( , ) s hs h xx aa U x sc ec e 1 c 2 c 为确定常数,，将边界条件代入上式，可得; 1 c 2 c s u U x 0 0 0 12 u cc s 将边界条件代入上式，可得.0lim U x 1 0c 因此，. 0 2 u c s 所以，. 0 ( , ) s h x a u U x se s 从而， 11 0 ( , ) ( , s h x a u U x tL U x sLe s ） 由拉普拉斯变换函数表，可知。 11 1L s 1 0 0 u Lu s 由拉普拉斯变换函数表， 2 1 2 12 () 2 a s a t a Leerfced st 可知. 2 1 2 12 () 2 x s a x a t x Leerfced sa t 如果令显然, 2 )( 2 2 detf ta x (0)0f 由导数性质可知,)0()()( fssFtfL 1 1 ( ) x s a f tLse s 亦即, ta x ta x s a x e tat x ta x dt d etfeL 2 2 2 4 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 2 )( 由位移性质,( )() t L ef tF s 可知. 22 ) 4 ( 4 1 2 2 2 2 ht ta x ht ta x x a hs e tat x ee tat x eL 由卷积定理),()()()( 21211 sFsFtftfL 可得,),( 101 x a hs eL s u LtxU 令最后可得该定解问题的解为, 2 a x ta x a hx t th ta x ht ta x x a hs de u de tta xu e tat x ueL s u Ltxu 2 ) 4 ( 0 0 )( )(4 0 ) 4 ( 0 101 . 2 )()(2 )( 2 ),( 22 2 2 2 2 2 2 5 5 综合比较，归纳总结综合比较，归纳总结 从以上的例题可以看出，用拉普拉斯变换方法求解微分方程有如下的优缺 点113： 拉普拉斯变换对像函数要求比傅里叶变换弱，其使用面更宽。但拉普拉 斯变换像其他变换一样都有其局限性，只有满足其存在定理时才可以使用拉普 拉斯变换。而在微分方程的一般解法中，并没有任何限制； 用拉普拉斯变换方法求解微分方程，由于同时考虑初始条件，求出的结 果便是需要的特解。而微分方程的一般解法中，先求通解，再考虑初始条件确 定任意常数，从而求出特解的过程比较复杂； 零初始条件、零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简单。 而在微分方程的一般解法中，不会因此而有任何简化； 用拉普拉斯变换求解微分方程，对于自变量是零的初始条件，求其特解 是非常方便的。但微分方程的一般解法并没有简化； 用拉普拉斯变换方法求解微分方程，对方程的系数可变与否、对区域有 界与否、对方程和边界条件齐次与否并无特殊关系。而在微分方程的一般解法 中，会遇到很多困难； 用拉普拉斯变换方法求解微分方程组，可以在不知道其余未知函数的情 况下单独求出某一个未知函数。但在微分方程的一般解法中通常是不可能的； 拉普拉斯变换可以使解个自变量偏微分方程的问题，转化为解个n1n 自变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时 还可将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，