椭圆及其标准方程

1.1椭圆及其标准方程,我们生活空间中的椭圆,椭圆形图案和徽标,具有对称的美,给人以大方圆润的感觉，常应用于广告设计和公司徽标设计。,2005年12月9时，我国载人航天飞机“神六”从酒泉卫星发射中心升空，先是在近地点200公里，远地点347公里的椭圆轨道环地球飞行。个半小时后，飞船飞行到第5圈，成功实现变轨为圆形轨道，标志着我国航天技术发展到一个崭新的阶段。,行星、卫星、人造卫星等天体的运行轨道都是椭圆。,合作探究,取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？,如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？,圆的轨迹图.swf,椭圆的轨迹图.swf,一.椭圆的定义:,结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是椭圆；若常数等于|F1F2|,则点M的轨迹是线段F1F2；若常数小于|F1F2|,则点M的轨迹不存在。,思考交流：定义中的常数为什么要大于焦距？,定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距。,故椭圆的两焦点坐标分别为F1(-c,0)和F2(c,0),化简，得,以经过椭圆焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。,设M(x,y)是椭圆上的任一点，,设椭圆的焦距为2c，点M与两焦点的距离之和为常数2a。,二.椭圆的标准方程,移项，得,故由椭圆的定义得,则方程可化为,观察左图，你能从中找出表示c、a的线段吗？,即,a2-c2有什么几何意义？,只需将x，y交换位置即得椭圆的标准方程.即,如果以椭圆的焦点所在直线为y轴，且F1、F2的坐标分别为（0，-c）和（0，c），a、b的含义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？,思考？,1.焦点在x轴上：,2.焦点在y轴上：,椭圆的标准方程,x型,y型,椭圆的统一形式：,在与这两个标准方程中，都有的要求。,一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；,例1.判断下列各式是否为椭圆的方程。如果是的话，说出a、b、c的值及其焦点所在的坐标轴。,是,焦点在x轴上。,不是,是,焦点在y轴上,不是,两边同时除以36,得,是,焦点在y轴上。,x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。,反思？,(1)如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？,(2)当a为定值时，椭圆形状的变化与c有怎样的关系？,图2-5.swf,解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为,又因为c=2,所以,所以，所求椭圆的标准方程为,解法1由椭圆的定义知,定义法,解法2因为点在椭圆上，又得,所以椭圆的标准方程为,待定系数法,解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为,2、已知椭圆的方程为：，请填空：a=，b=，c=，焦点坐标为，焦距等于.,课堂示例:,10,6,8,16,(-8,0)、(8,0),4,或,3、若M为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且MF1=6,则MF2=.,注:这样设不失为一种方法.,课堂小结：,2、椭圆的图形与标准方程,这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距。,M,O,O,标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上,标准方程,相同点,焦