6.8可降阶的高阶微分方程ppt课件

可降阶高阶微分方程,第七节,一、,型的微分方程,二、,型的微分方程,三、,型的微分方程,(缺y),(缺x),四、,恰当导数方程,1,6.8.1,同样,依次通过n次积分,型的微分方程,可得含n个,任意常数的通解.,2,例1.,解:,3,41页5.,运动,在,随着时间的增大,直到t=T时,如果开始时,解:据题意有,t=0时,设力F,减小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分,此力F均匀地,质量为,沿ox轴作直线,受力F的作用,F=F(t).,是时间t的函数:,F=,0.,质点在原点,得,m的质点,4,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,5,型的微分方程,设,原方程化为,设其通解为,则得,积分得,6.8.2,解法如下：,则,原方程的通解,(缺y),一阶方程,6,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,不含y,设,则,7,6.8.3,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量,解法如下：,则,得原方程的通解,(缺x),积分,8,例4.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,由,积分得,故所求特解为,则,9,例6.49求解,代入方程得,两端积分得,故所求通解为,解:,此方程不显含x，,分离变量得,分离变量得,两端积分,令,则,10,四、,恰当导数方程,若,则称,为,恰当导数方程,可以化为,一阶微分方程,例6.49求解,解,两边乘以,得,即,即,故所求通解为,11,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线,例6.,二阶可导,上任一点P(x,y),切线,区间0,x上以,解:,于是,在点P(x,y)处,记为,设函数,且,过曲线,作该曲线的,及x轴的垂线,与x轴围成,的三角形面积,记为,且,利用,得,两边对x求导,定解条件为,求函数,的切线倾角为,12,再利用y(0)=1得,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,不显含x，,定解条件为,则,13,M:地球质量,例7.,静止开始落向地面,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,受地球引力,一个离地面,求它落到地面时,的速度,设,则,积分得,根据初始条件,得到,注意“”号,很高的物体,的作用由,和所需时间,m:物体质量,14,两端积分,令,由于y=R时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时,由,的速度和所需时间分别为,15,例8.,设圆柱形浮筒直径d=0.5米，,浮筒在水中上下振动的,周期为2秒。,求浮筒的质量m。,解:,设浮筒平衡位置为坐标原点，,当浮筒运动到任意的x处时，,浮力,由,得,令,则,(不显含t),垂直放在水中。,（水的比重=1）,令,则,代入,分离变量,两端积分,x轴铅直向下。,16,由,得,即,分离变量,两端积分,由,得,特解为,(注意”-”),周期,已知周期T=2,代入,得到,17,速度,大小为2v,解:,两边对x求导,得,设物体A,例10.,的速度沿y轴正向运动,物体B从(1,0)出发,试建立物体B的运动轨迹,应满足的微分方程及初始条件.,以大小为常数v,设t时刻B位于(x,y),如图所示,从点(0,1)出发,则有,方向始终指向A,代入式得,18,其初始条件为,不显含y的二阶微分方程,19,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,原方程变为,降一阶。,原方程变为,降一阶。,则,则,20,作业,41页习题68,1.(1),(3),作业本写上班级姓名,2.,3.(1),(3),21,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:,考察最低点A到,(:密度,弧段重力大小,按静力平衡条件,设有一均匀,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y),A点受水平张力,M点受切向张力,两式相除得,柔