复变函数PPT课件

.,1,复变函数与积分变换(第二版)华中科技大学数学系教师黄志祥(博士),.,2,参考教材,1.数学物理方法(第三版)，汪德新编，科学出版社，2007年4月.2.数学物理方法与计算机仿真，杨华军编，电子工业出版社，2006年7月.3.MATLAB及在电子信息课程中的应用(第3版)，陈怀琛等编著,电子工业出版社,2006.4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建林编，西北工业大学出版社,2001年1月.,01744/12,.,3,教学方式与要求,方式板书结合PPT源于课本稍高于课本要求适当做笔记按质完成作业,.,4,复变函数,积分变换,解析函数(导数),复变积分,两者关系:,级数留数,Fourier变换,Laplace变换,复变函数与积分变换主要内容,第六七章不讲共9周36课时,.,5,复球面,.,6,4.4罗朗级数,.,7,2.3初等函数,指数函数对数函数三角函数与反三角函数双曲函数与反双曲函数幂函数小结,.,8,2.3.1指数函数,1.定义对于复数z=x+iy,定义指数函数为注:2.性质3.举例,函数图像,.,9,2.3.2对数函数,1.定义2.性质(1)多值性主值支(2)运算性(3)解析性3.举例,函数图像,作业！,.,10,2.3.3三角函数,1.定义注:正、余弦函数可以大于1.2.性质(1)单值性(2)周期性(3)奇偶性(4)三角公式(5)解析性,函数图像,.,11,反三角函数,定义如果sinw=z,则称w为z的反正弦函数，记为同样，有,函数图像,均为多值函数.,.,12,2.3.4双曲与反双曲函数,双曲函数与反双曲函数注：双曲函数与三角函数的关系为,函数图像,Q:双曲正(余)弦的单值性、周期性、奇偶性如何？,.,13,2.3.5幂函数,1.定义2.3.举例,.,14,小结,初等函数是复变函数的主要研究对像.介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等函数类比学习，着重掌握它们之间的区别.要求:会计算基本初等函数值.展望,第三章复变函数积分.,.,15,结论:一般情形下幂函数为多值函数,函数图像,函数图像,互为反函数,.,16,指数函数w=exp(z)的图像,虚部,MATLAB及在电子信息课程中的应用(第3版)陈怀琛等编著,电子工业出版社,2006.,电路信号与系统数字信号处理控制系统,.,17,对数函数w=Ln(z)的图像,虚部,实部,.,18,三角函数w=sin(z)的图像,虚部,.,19,反三角函数w=Arctan(z)的图像,虚部,.,20,双曲正弦函数w=sh(z)或w=sinh(z)的图像,虚部,.,21,幂整函数的图像,虚部,.,22,虚部,根式函数的图像,.,23,Fourierfigure(1);ezplot(sin(t)./t,-50,50);Fw=fourier(sin(t)./(t),w);figure(2);ezplot(Fw,-5,5),Matlabcode,.,28,W-域,.,29,数学物理方程与特殊函数东南大学数学系(第三版),.,30,主要内容,“三类典型方程”“边界条件”,分离变量法(有界),行波法与积分变换法(无界),Green函数法(有界或无界),Bessel,Legendre,第七九章不讲共9周36课时,求解,Sin&Cos,.,31,预备知识,1基本概念偏微分方程(PDE):含有未知多元函数及其偏导的方程，如其中:为多元函数.方程的阶:未知函数导数的最高阶数；方程的次数:最高阶偏导的幂次；线性方程:未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项:不含未知函数及其导数的项；齐次方程:没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非齐次的；,.,32,Cont,方程的解:若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解:包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数；特解:不含任意独立函数的方程的解.例如：二阶线性非齐次偏微分方程的通解为其中，F与G为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数偏微分方程的阶数.,一阶非线性非齐次PDE,二阶线性齐次PDE,.,33,弦的微小横振动,.,34,传输线方程,.,35,补充1:正交函数系,函数正交正交函数系常见的正交函数系,Chap2SeparateVariations,.,36,函数的正交展开,完备正交系函数广义Fourier级数展开,.,37,三角函数正交关系,.,38,分离变量法解的物理意义,级数解中前四个驻波分量的运动,.,39,分离变量法小结,第一步：分离变量.u(x,t)=X(x)T(t)第二步：求解本征值(固有值)问题.X(x)+BCODE第三步：求解T(t)满足的常微分方程.第四步：作特解的线性叠加.第五步：由初始条件确定系数.(三角函数的正交性),为方便记忆:“定解条件写完整，边界条件齐次化；五个步骤循序解，特征问题是关键”.,.,40,常见边值问题X+X=0的本征函数小结,.,41,常见边值问题对应的本征函数,.,42,分离变量法,抛物型方程第三类齐次边界条件(1-D),.,43,椭圆型方程第一类齐次边界条件(2-D),.,44,.,45,.,46,.,47,.,48,.,49,.,50,.,51,.,52,.,53,第二章总结,齐次方程齐次边界：分离变量法或本征函数法非齐次方程齐次边界：本征函数法非齐次边界：先将边界齐次化后，再用本征函数展开法,.,54,数理方程的分类标准化方法,第三章行波法与积分变换法总结,.,55,实系数型PDE方程的行波解,标准型一般型,.,56,一般强迫振动的定解问题(1),.,57,一般强迫振动的定解问题(2),.,58,初始条件,齐次,非齐次,达朗贝尔公式,非齐次方程,齐次方程,冲量原理,齐次方程,非齐次方程,达朗贝尔公式,分解,齐次方程+非齐初值,非齐方程+齐次初值,Chap3.Review(无界),.,59,边界条件,齐次,非齐次,分离变量法,非齐次方程,齐次方程,特征函数法,分解,齐次边界+非齐方程,非齐边界+已知函数,Chap2.Review(有界),.,60,总结,PDE边界条件初始条件定解问题先看边界，再看初始条件，综合考虑PDE,.,61,第四章Green函数法(以求解Poisson方程为例),.,62,Green第二公式,.,63,圆域Green函数,Chap4.Review(GreenFunction),.,64,球域Green函数,.,65,球内源点与球外像点共同作用(Green函数),.,66,仅球内源点