南京市、盐城市2020届高三数学二模试卷含答案

高三数学试题第1页（共 4 页） 南京市、盐城市南京市、盐城市 20202020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数 学 参考公式：参考公式： 圆圆锥的锥的侧面积侧面积公式：公式：Srl，其其中中 r 为为圆圆锥锥底面圆的半径，底面圆的半径，l 为为圆锥的母线长圆锥的母线长 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答不需写出解答过程，请把答案写在案写在 答题答题卡卡的的指定位置指定位置 上）上） 1已知集合 A x | x2k1，kZ，Bx | x(x5)0，则 AB 2已知复数 z12i，其中 i 为虚数单位，则 z2的模为 3如图是一个算法流程图，若输出的实数 y 的值为1，则输入的实数 x 的值为 4某校初三年级共有 500 名女生，为了了解初三女生 1 分钟“仰卧起坐”项目训练情况， 统计了所有女生 1 分钟 “仰卧起坐” 测试数据(单位： 个)， 并绘制了如下频率分布直方图， 则 1 分钟至少能做到 30 个仰卧起坐的初三女生有 个 5从编号为 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取一张，放回 后再随机抽取一张，则第二次抽 得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 6已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且周期为 2，当 x (0，1时，f (x)= xa 3，则 f (a) 的值为 7若将函数 f (x)sin ( 2x + 3 )的图象沿 x 轴向右平移 （0）个单位后所得的图象与 f (x) 的图象关于 x 轴对称，则 的最小值为 8在 ABC 中，AB2 5，AC 5，BAC90 ，则 ABC 绕 BC 所在直线旋转一周所形 （第 4 题图） 频率 组距 O 60 50 40 30 20 10 个数 0.01 0.015 x 0.035 （第 3 题图） 结束 开始 输入 x x0 ylog2 (2x + 1) y2x 输出 y Y N 高三数学试题第2页（共 4 页） 成的几何体的表面积为 9已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，满足a1，a2，a3b1，b2，b3a， b，2，其中 a0，b0，则 ab 的值为 10已知点 P 是抛物线 x24y 上动点，F 是抛物线的焦点，点 A 的坐标为(0，1)，则PF PA的 最小值为 11已知 x，y 为正实数，且 xy2x4y41，则 xy 的最小值为 12在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：(xm)2y2r2(m0)已知过原点 O 且相互垂直的 两条直线 l1和 l2，其中 l1与圆 C 相交于 A，B 两点，l2与圆 C 相切于点 D若 ABOD， 则直线 l1的斜率为 13在ABC 中，BC 为定长，且|AB+2AC|3|BC|若ABC 的面积的最大值为 2，则边 BC 的长为 14函数 f (x)exxb(e 为自然对数的底数，bR)，若函数 g (x)f (f(x)1 2)恰有 4 个零 点，则实数 b 的取值范围为 二二、 解答题解答题:本大题共本大题共 6 小题小题， 计计 90 分分 解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题卡的请把答案写在答题卡的指定区域指定区域 内内 15(本小题满分 14 分) 如图，三棱锥 PABC 中，点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且平面 PDE平面 ABC （1）求证：AC平面 PDE； （2）若 PDAC2，PE 3，求证：平面 PBC平面 ABC 16(本小题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 abcosCcsinB （1）求 B 的值 （2）设BAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D，已知 AD17 7 ，cosA 7 25，求 b 的值 （第 15 题图） P A B C D E 高三数学试题第3页（共 4 页） 17(本小题满分 14 分) 如图，湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米为 方便游人到小岛观光，从点 A 向小岛建三段栈道 AB，BD，BE，湖面上的点 B 在线段 AC 上，且 BD，BE 均与圆 C 相切，切点分别为 D，E，其中栈道 AB，BD，BE 和小岛 在同一个平面上沿圆 C 的优弧（圆 C 上实线部分）上再修建栈道 DE记CBD 为 （1）用 表示栈道的总长度 f()，并确定 sin 的取值范围； （2）求当 为何值时，栈道总长度最短 18(本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，且过点 (0， 3) （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知BMN 是椭圆 C 的内接三角形， 若点 B 为椭圆 C 的上顶点，原点 O 为BMN 的垂心，求线段 MN 的长； 若原点 O 为BMN 的重心，求原点 O 到直线 MN 距离的最小值 （第 18 题图） O x y C D E A B （第 17 题图） 高三数学试题第4页（共 4 页） 19(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)x3x2(a16)x， g(x)alnx，aR函数 h(x) f (x) x g (x)的导函数 h(x)在5 2，4上存在零点 （1）求实数 a 的取值范围； （2）若存在实数 a，当 x0，b时，函数 f (x)在 x0 时取得最大值，求正实数 b 的最 大值； （3）若直线 l 与曲线 yf(x)和 yg(x)都相切，且 l 在 y 轴上的截距为12，求实数 a 的 值 20(本小题满分 16 分) 已知无穷数列an的各项均为正整数，其前 n 项和为 Sn，记 Tn为数列an的前 an项和， 即 Tna1a2aan （1）若数列an为等比数列，且 a11，S45S2，求 T3的值； （2）若数列an为等差数列，且存在唯一的正整数 n (n2)，使得Tn an2，求数列an的 通项公式； （3）若数列Tn的通项为 Tnn(n1) 2 ，求证：数列an为等差数列 高三数学试题第5页（共 4 页） 南京市、盐城市南京市、盐城市 20202020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷答卷 卡卡 指定区域内指定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 已知矩阵 M 1 2 2 1 ， MN 1 0 0 1 （1）求矩阵 N； （2）求矩阵 N 的特征值 B选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2t， y1 2t 2，（t 为参数） ，以原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 极坐标方程为 cos( 4) 2若直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，求线段 AB 的长 C选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 已知 a0，证明：a2 1 a2 2a 1 a2 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答解作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满 400 元的商品即可抽奖一次抽奖规则如下： 抽奖者掷各面标有 16 点数的正方体骰子 1 次，若掷得点数大于 4，则可继续在抽奖 高三数学试题第6页（共 4 页） 箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖已知抽奖箱中装有 2 个红球与 m(m2，m N*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出 2 个球，若 2 个球均为红球，则获得一等奖，若 2 个球为 1 个红球和 1 个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球， 除颜色外均相同) （1）若 m4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率； （2）若一等奖可获奖金 400 元，二等奖可获奖金 300 元，三等奖可获奖金 100 元，记顾 客一次抽奖所获得的奖金为 X，若商场希望 X 的数学期望不超过 150 元，求 m 的 最小值 23(本小题满分 10 分) 已知集合 An1，2，n，nN*，n2，将 An的所有子集任意排列，得到一个有 序集合组(M1，M2，Mm)，其中 m2n记集合 Mk中元素的个数为 ak，kN*，k m，规定空集中元素的个数为 0 （1）当 n2 时，求 a1a2am的值； （2）利用数学归纳法证明：不论 n(n2)为何值，总存在有序集合组(M1，M2，Mm)， 满足任意 iN*，im1，都有|aiai1|1 高三数学试题第7页（共 4 页） 南京市、盐城市南京市、盐城市 20202020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案和评分标准 一、填空题（本大一、填空题（本大题共题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上答题纸的指定位置上） 11，3 25 31 4 4325 5 1 2 60 7 2 86 5 95 10 2 2 118 122 5 5 132 14(1，1 2ln2) 二、 解答题 （二、 解答题 （本大题共本大题共 6 小题， 计小题， 计 90 分分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分本小题满分 14 分分) 证明： （1）因为点 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 所以 DEAC 2 分 因为 AC平面 PDE，DE平面 PDE， 所以 AC平面 PDE 4 分 （2）因为点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DE1 2AC 又因为 AC2，所以 DE1， 因为 PD2，PE 3， 所以 PD2PE2DE2， 因此在PDE 中，PEDE 8 分 又平面 PDE平面 ABC，且平面 PDE平面 ABCDE，PE平面 PDE， 所以 PE平面 ABC， 12 分 又因为 PE平面 PBC， 所以平面 PBC平面 ABC 14 分 16(本小题满分本小题满分 14 分分) 解： （1）因为 abcosCcsinB， 由 a sinA b sinB c sinC，得 sinAsinBcosCsinCsinB 2 分 又因为 sinAsin(BC)sin(BC)sinBcosCcosBsinC， 所以 sinBcosCcosBsinCsinBcosCsinCsinB， 即 cosBsinCsinCsinB 4 分 因为 0C，所以 sinC0，所以 sinBcosB 高三数学试题第8页（共 4 页） 又 0B，所以 sinB0，从而 cosB0，所以 tanB1， 所以 B 4 6 分 （2）因为 AD 是BAC 的平分线，设BAD，所以 A2， 因为 cosA 7 25，所以 cos2cosA 7 25，即 2cos 217 25，所以 cos 29 25， 因为 0A，所以 0 2，所以 cos 3 5，所以 sin 1cos24 5 在ABD 中，sinADBsin(B)sin( 4)sin 4coscos 4sin 2 2 (3 5 4 5) 7 2 10 8 分 由 AD sinB AB sinADB，所以 AB ADsinADB sinB 17 7 7 2 10 217 5 10 分 在ABC 中，sinA 1cos2A24 25， 所以 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 2 2 (24 25 7 25) 17 2 50 12 分 由 b sinB c sinC，所以 b csinB sinC 17 5 2 2 17 2 50 5 14 分 17(本小题满分本小题满分 14 分分) 解： （1）连接 CD，因为 BD 与圆 C 相切，切点为 D，所以BCD 为直角三角形 因为CBD，且圆形小岛的半径为 1 千米，所以 DB 1 tan ，BC 1 sin 因为岸边上的点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米，所以 ABACBC3 1 sin 2 分 又因为 BE 与圆 C 相切，所以 BEDB 1 tan ，优弧 DE所对圆心角为 2(2) 2，所以优弧 DE长 l 为 2， 4 分 所以 f()ABBDBEl3 1 sin 1 tan 1 tan2 322cos 1 sin 6 分 因为 0AB2，所以 03 1 sin2，解得 1 3sin1， 所以 sin 的取值范围为(1 3，1) 8 分 （2）由 f()322cos 1 sin ，得 f () 2+cos sin2 2cos(12cos) sin2 10 分 高三数学试题第9页（共 4 页） 令 f ()0 ，解得 cos1 2，因为 为锐角，所以 3 12 分 设 sin01 3，0 为锐角，则 00 3 当 (0， 3)时，f ()0，则 f()在(0， 3)单调递减； 当 ( 3， 2)时，f ()0，则 f()在( 3， 2)单调递增， 所以 f()在 3时取得最小值 答：当 3时，栈道总长度最短 14 分 18(本小题满分本小题满分 16 分分) 解： （1）记椭圆 C 的焦距为 2c因为椭圆 C 的离心率为1 2，所以 c a 1 2 因为椭圆 C 过点 (0， 3)，所以 b 3 因为 a2c2b2，解得 c1，a2， 故椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31 2 分 （2）因为点 B 为椭圆 C 的上顶点，所心 B 点坐标为(0， 3) 因为 O 为BMN 的垂心，所以 BOMN，即 MNy 轴 由椭圆的对称性可知 M，N 两点关于 y 轴对称 4 分 不妨设 M(x0，y0)，则 N(x0，y0)，其中 3y0 3 又因为 MOBN，所以MO BN0，即(x0，y0) (x0，y0 3)0， 得 x2 0y 2 0 3y00 6 分 又点 M(x0，y0)在椭圆上，则x0 2 4 y0 2 3 1 由 x 2 0y 2 0 3y00， x0 2 4 y0 2 3 1， 解得 y04 7 3或 y0 3(舍去)，此时|x0|2 7 33 故 MN2|x0|4 7 33，即线段 MN 的长为4 7 33 8 分 方法 1 设 B(m，n)，记线段 MN 中点为 D 因为 O 为BMN 的重心，所以BO2OD，则点 D 的坐标为(m 2， n 2) 10 分 若 n0，则|m|2，此时直线 MN 与 x 轴垂直， 高三数学试题第10页（共 4 页） 故原点 O 到直线 MN 的距离为|m 2|，即为 1 若 n0，此时直线 MN 的斜率存在 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2m，y1y2n 又x1 2 4 y1 2 3 1，x2 2 4 y2 2 3 1，两式相减得(x1x2)(x1x2) 4 (y1y2)(y1y2) 3 0， 可得 kMNy1y2 x1x2 3m 4n 12 分 故直线 MN 的方程为 y3m 4n(x m 2) n 2，即 6mx8ny3m 24n20， 则点 O 到直线 MN 的距离为 d |3m24n2| 36m264n2 将m 2 4 n 2 3 1，代入得 d 3 n29 14 分 因为 0n23，所以 dmin 3 2 又 3 2 1，故原点 O 到直线 MN 距离的最小值为 3 2 16 分 方法 2 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，B(x3，y3) 因为 O 为BMN 的重心，所以 x1x2x30，y1y2y30， 则 x3(x1x2)，y3(y1y2) 10 分 因为x 2 3 4 y 2 3 3 1，所以(x1x2) 2 4 (y1y2) 2 3 1 将x1 2 4 y1 2 3 1，x2 2 4 y2 2 3 1，代入得x1x2 4 y1y2 3 1 2 12 分 若直线 MN 的斜率不存在，则线段 MN 的中点在 x 轴上，从而 B 点位于长轴的顶点处， 由于 OB2，所以此时原点 O 到直线 MN 的距离为 1 若直线 MN 的斜率存在，设为 k，则其方程为 ykxn 由 ykxn， x2 4 y2 3 1，消去 y 得，(34k 2)x28knx4n2120(*) 则(8kn)24(34k2) (4n212)0，即 34k2n2， 由根与系数关系可得 x1x2 8kn 34k2，x1x2 4n212 34k2 ， 则 y1y2(kx1n)(kx2n)k2x1x2kn(x1x2)n23n 212k2 34k2 ， 代入x1x2 4 y1y2 3 1 2，得 1 4 4n212 34k2 1 3 3n212k2 34k2 1 2，即 n 2k23 4 14 分 又 34k2n2， 高三数学试题第11页（共 4 页） 于是 34k2k23 4，即 3k 29 40 恒成立，因此 kR 原点(0，0)到直线 MN 的距离为 d |n| k21 k23 4 k21 1 1 4(k21) 因为 k20，所以当 k0 时，dmin 3 2 ， 又 3 2 1，故原点 O 到直线 MN 距离的最小值为 3 2 16 分 19(本小题满分本小题满分 16 分分) 解： （1）因为 h(x)f(x) x g(x)x2x(a16)alnx，所以 h(x)2x1a x 2x2xa x ， 令 h(x)0，得 2x2xa0 因为函数 h(x)在5 2，4上存在零点，即 y2x 2xa 在5 2，4上存在零点， 又函数 y2x2xa 在5 2，4上单调递增， 所以 2(5 2) 25 2a0， 2424a0 解得 10a28 因此，实数 a 的取值范围为10，28 2 分 （2）方法 1 因为当 x0，b时，函数 f(x)在 x0 处取得最大值， 即存在实数 a，当 x0，b时，f(0)f(x)恒成立， 即 x3x2(a16)x0 对任意 x0，b都成立 4 分 当 x0 时，上式恒成立； 6 分 当 x(0，b时，存在 a10，28 ，使得 x2x16a 成立， 8 分 所以 x2x1628，解得3x4，所以 b4 故当 a28，b 的最大值为 4 10 分 方法 2 由 f(x)x3x2(a16)x，得 f (x)3x22x(a16) 设412(a16)4(3a47)， 若0，则 f (x)0 恒成立，f(x)在0，b上单调递增， 因此当 x0，b时，函数 f (x)在 x0 时不能取得最大值，于是0， 4 分 故 f (x)0 有两个不同的实数根，记为 x1，x2(x1x2)， 若 x10，则当 x(0，x1)时，f (x)0，f (x)在(0，x1)上单调递增， 高三数学试题第12页（共 4 页） 因此当 x0，b时，函数 f (x)在 x0 时不能取得最大值， 所以 x10 6 分 又 x1x22 30，因此 x20， 从而当 x(0，x2)时，f (x)0，f (x)单调递减； 当 x(x2，)时，f (x)0，f (x)单调递增， 若存在实数 a，当 x0，b时，函数 f(x)在 x0 处取得最大值， 则存在实数 a，使得 f(0)f(b)成立，即 b3b2(a16)b0 8 分 所以存在 a10，28，使得 b2b16a 成立， 所以 b2b1628，解得3b4 故当 a28，b 的最大值为 4 10 分 （3） 设直线 l 与曲线 yf(x)相切于点 A(x1 ， f(x1)， 与曲线 yg(x)相切于点 B(x2 ， g(x2) 过 A(x1 ，f(x1)点的切线方程为 yx13x12(a16)x13x122x1(a16)( xx1)， 即 y3x122x1(a16)x2x13x12 过 B(x2 ，g(x2)点的切线方程为 yalnx2 a x2( xx2)，即 y a x2xalnx2a 又因为直线 l 在 y 上的截距为12， 所以 3x1 22x1(a16)a x2 ， 2x13x1212 ， alnx2a12 ， 12 分 由解得 x12，则 24aa x2， alnx2a12， 消去 a，得 lnx2 1x2 2x2 0 14 分 则（1）知 10a28，且 x20，则 x25 7 令 p(x)lnx 1x 2x ，x5 7，)，则 p (x) 1 x 1 2x2 2x1 2x2 ， 因为 p (x)0，所以函数 p(x)在5 7，)上为增函数 又因为 p(1)0，且函数 p(x)的图像是不间断的， 所以函数 p(x)在5 7，)有唯一零点 1， 所以方程 lnx2 1x2 2x2 0 的解为 x21，所以 a12， 所以实数 a 的值为 12 16 分 20(本小题满分本小题满分 16 分分) 高三数学试题第13页（共 4 页） 解：（1）设等比数列an的公比为 q， 因为 S45S2，所以 a1a2a3a45(a1a2)，即 a3a44(a1a2)， 所以 a1q2(1q)4 a1(1q) 因为数列an的各项均为正整数，所以 a1，q 均为正数， 所以 q24，解得 q2 又 a11，所以 an2n 1，从而 a 34， 所以 T3S412222315 2 分 （2）设等差数列an的公差为 d，则 ana1(n1)d 因为数列an的各项均为正整数，所以 dZ 若 d0，令 an0，得 n1a1 d，这与an为无穷数列相矛盾， 因此 d0，即 dN 4 分 因为 Snna1n(n1)d 2 ，所以 Tna1ana n(an1)d 2 ，因此Tn ana1 (an1)d 2 由Tn an2，得 a1 (an1)d 2 2 6 分 因为 a1N*，dN，所以 2a1(a n1)d 2 a11，因此 a11 于是 1(n1)d 2 2 2，即(n1)d22 若 d0 时，则存在无穷多个 n(n2)使得上述不等式成立， 所以 d0 不合题意； 8 分 若 dN*时，则 n1 2 d2 因为存在唯一的正整数 n (n2)，使得该不等式成立， 所以 21 2 d23，即 1d 22 又 dN*，所以 d1，因此 an1(n1)1n 10 分 （3）因为 Sn1Snan10，所以 Sn1Sn，即数列Sn单调递增 又 Tn1Tn(n1)(n2) 2 n(n1) 2 n10， 所以 Tn1Tn，即 San1San， 因为数列Sn单调递增，所以 an1an 12 分 又 anN*，所以 an1an1，即 an1an1， 所以 an1a1(a2a1)(a3a2)(an1an)n， 因此 an1a1n1n，即 ann（n2）， 又 a11，所以 ann 14 分 由 Tn1Tnn1，得 aan1aan2aan1n1， 因此 n1aan1an1，即 ann 由知 ann，因此 an1an1， 所以数列an为等差数列 16 分 高三数学试题第14页（共 4 页） 南京市、盐城市南京市、盐城市 20202020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案和评分标准 21 【选做题】在【选做题】在 A、